Bài viết này tổng hợp và giới thiệu các công thức tính nhanh Thể Tích Khối Tứ Diện cho các trường hợp đặc biệt thường gặp trong các kỳ thi, đồng thời cung cấp công thức tổng quát tính thể tích khối tứ diện bất kỳ khi biết độ dài tất cả 6 cạnh.
Công thức tổng quát: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a, CA=b, AB=c, AD=d, BD=e, CD=f$. Thể tích của tứ diện được tính theo công thức:
$V=frac{1}{12}sqrt{M+N+P-Q}$
Trong đó:
$M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2)$
$N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2)$
$P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2)$
$Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2$
1. Thể tích khối tứ diện đều
Khối tứ diện đều cạnh $a$ có thể tích là: $V = frac{a^3sqrt{2}}{12}$.
Ví dụ: Một khối tứ diện đều có chiều cao $h$. Tính thể tích của khối tứ diện đó.
Giải:
Gọi cạnh của tứ diện đều là $a$. Ta có $h = frac{asqrt{6}}{3} Rightarrow a = frac{hsqrt{6}}{2}$.
Vậy thể tích tứ diện là: $V = frac{a^3sqrt{2}}{12} = frac{(frac{hsqrt{6}}{2})^3sqrt{2}}{12} = frac{h^3sqrt{3}}{8}$.
2. Thể tích khối tứ diện vuông
Tứ diện $ABCD$ có $AB$, $AC$, $AD$ đôi một vuông góc và $AB = a$, $AC = b$, $AD = c$, thì thể tích được tính bởi: $V = frac{1}{6}abc$.
3. Thể tích khối tứ diện gần đều
Với tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = a$, $BC = AD = b$, $AC = BD = c$, ta có:
$V = frac{sqrt{2}}{12}sqrt{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)}$.
Ví dụ: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 6$, $AD = BC = 4$, $AC = BD = 5$. Tính thể tích khối tứ diện này.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
$V = frac{sqrt{2}}{12}sqrt{(6^2+4^2-5^2)(4^2+5^2-6^2)(6^2+5^2-4^2)} = frac{7sqrt{22}}{6}$.
4. Thể tích khối tứ diện khi biết khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện
Nếu tứ diện $ABCD$ có $AD = a$, $BC = b$, khoảng cách giữa $AD$ và $BC$ là $d$, và góc giữa chúng là $alpha$, thì thể tích là: $V = frac{1}{6}abdsinalpha$.
5. Thể tích khối tứ diện khi biết diện tích hai mặt kề nhau
Cho khối tứ diện $ABCD$. Gọi $S{ABC}$, $S{ABD}$ là diện tích tam giác $ABC$ và $ABD$ và $alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$. Khi đó thể tích tứ diện $ABCD$ là:
$V = frac{2S{ABC}.S{ABD}.sin(alpha)}{3AB}$
6. Thể tích khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh
Cho khối tứ diện $S.ABC$ có $SA = a, SB = b, SC = c, widehat{BSC} = alpha, widehat{CSA} = beta, widehat{ASB} = gamma$. Khi đó:
$V = frac{abc}{6}sqrt{1 + 2cosalphacosbetacosgamma – cos^2alpha – cos^2beta – cos^2gamma}$.
Ví dụ: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = 2, SB = 3, SC = 4$ và $widehat{ASB} = widehat{BSC} = widehat{CSA} = 60^circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
$V = frac{2.3.4}{6}sqrt{1 + 2(frac{1}{2})^3 – 3(frac{1}{2})^2} = 4sqrt{1 + frac{1}{4} – frac{3}{4}} = 4sqrt{frac{1}{2}} = 2sqrt{2}$.
