Công thức tính thể tích khối chóp là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, công thức tính thể tích cho các dạng khối chóp khác nhau, kèm theo các bài tập minh họa có lời giải chi tiết.
1. Lý Thuyết Về Khối Chóp
-
Định nghĩa: Khối chóp là hình đa diện có một mặt đáy là đa giác, các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh (gọi là đỉnh của chóp).
-
Phân loại: Các loại chóp thường gặp là chóp tam giác (tứ diện) và chóp tứ giác.
Alt text: Hình ảnh minh họa khối chóp tam giác với đáy là tam giác ABC và đỉnh S, và khối chóp tứ giác với đáy là tứ giác ABCD và đỉnh S.
Alt text: Sơ đồ khối chóp với các thành phần: đỉnh, mặt bên, cạnh bên, mặt đáy, cạnh đáy và đường cao.
-
Đường cao: Là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh của chóp vuông góc với mặt đáy.
-
Các tính chất cần nhớ:
- Nếu hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Nếu hình chóp có tất cả các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau, thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
- Nếu hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đáy của mặt bên đó.
- Nếu hai mặt bên cùng vuông góc với đáy, thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.
2. Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Tổng Quát
Cho khối chóp có chiều cao là h và diện tích đáy là S. Thể tích V của khối chóp được tính theo công thức:
Alt text: Công thức tính thể tích khối chóp V = 1/3 S h, với S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp.
Alt text: Hình ảnh minh họa diện tích đáy S của khối chóp, nhấn mạnh vai trò của diện tích đáy trong công thức tính thể tích.
3. Thể Tích Một Số Khối Chóp Đặc Biệt
-
Khối Tứ Diện Đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau. Các mặt đều là tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.
Bài toán: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải:
Alt text: Hình vẽ tứ diện đều ABCD cạnh a, với G là trọng tâm tam giác BCD, AG vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Do ABCD là tứ diện đều nên AG ⊥ (BCD).
Alt text: Công thức tính độ dài BG trong tam giác đều, BG = (a√3)/3, là cơ sở để tính chiều cao AG.
Alt text: Công thức tính thể tích tứ diện đều ABCD với cạnh a, V = (a^3 √2) / 12, kết quả cuối cùng của bài toán ví dụ.*
-
Khối Chóp Tam Giác Đều: Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.
Bài toán 1: Cho khối chóp S.ABC đều, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên bằng a√2. Tính thể tích khối chóp.
Alt text: Hình vẽ khối chóp tam giác đều S.ABC, với đáy ABC là tam giác đều và các cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có SG ⊥ (ABC)
Alt text: Các bước tính thể tích khối chóp tam giác đều, từ tính diện tích đáy đến tính chiều cao SG và áp dụng công thức thể tích.
Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABC đều có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = a, BC = a√3. Các cạnh bên tạo với đáy góc 60°. Tính VS.ABC.
Alt text: Hình vẽ khối chóp S.ABC với đáy là tam giác vuông tại B, các cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ.
Lời giải:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Do ΔABC vuông tại B nên O là trung điểm của AC.
Ta có (SA,(ABC)) = (SA,OA) = = 600
Áp dụng định lí Pytago cho ΔABC ta được AC = 2a => SO = a√3
Alt text: Các bước tính thể tích khối chóp tam giác vuông, bao gồm xác định tâm đường tròn ngoại tiếp, tính chiều cao SO và áp dụng công thức thể tích.
-
Khối Chóp Tứ Giác Đều: Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.
Bài toán: Cho khối chóp đều S.ABCD đáy vuông cạnh a. Các cạnh bên dài 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Alt text: Hình vẽ khối chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Lời giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có SO ⊥ (ABCD) .
. Áp dụng Pytago cho ΔSOD ta được
Diện tích ABCD là a2 =>
Alt text: Các bước tính thể tích khối chóp tứ giác đều, từ xác định tâm hình vuông, tính chiều cao SO và áp dụng công thức thể tích.
-
Chóp Tam Giác Có 3 Cạnh Bên Đôi Một Vuông Góc:
Giả sử 3 cạnh bên có độ dài lần lượt là a, b và c. Khi đó thể tích khối chóp này là:
Alt text: Công thức tính nhanh thể tích khối chóp tam giác có ba cạnh bên đôi một vuông góc: V = 1/6 a b c.*
-
Khối Tứ Diện Gần Đều:
Là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.
Bài toán: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b và AD = BC = c. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
4. Công Thức Tỉ Số Thể Tích
Bài toán: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’.
Alt text: Hình vẽ khối chóp S.ABC với các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC.
Khi đó tỉ số thể tích:
Alt text: Công thức tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC: V(S.A’B’C’) / V(S.ABC) = (SA’/SA) (SB’/SB) (SC’/SC).
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là 120. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, Q sao cho: MA = 2SM; NB = 3SN và QC = 4SQ. Tính thể tích khối chóp S.MNQ?
Lời giải:
Alt text: Hình vẽ khối chóp S.ABC với các điểm M, N, Q lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC theo tỉ lệ cho trước.
Từ giả thiết ta có:
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
Suy ra
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC) và SA = 2a; AB = 2a; BC = a√3. Lấy M trung điểm SA và N trung điểm SB.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC
b. Tính thể tích khối đa diện
Lời giải:
Alt text: Hình vẽ khối chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy và M, N là trung điểm của SA, SB.
a. Diện tích ΔABC là
Suy ra
b. Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
Do đó
Lưu ý: Khi áp dụng phương pháp tỉ số thể tích, ta chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác. Nếu không là khối chóp tam giác thì ta nên chia khối chóp đã cho thành các khối chóp tam giác để có thể dùng được phương pháp thể tích.
Alt text: Sơ đồ các bước giải bài toán thể tích khối chóp: 1. Dựng hình, xác định yếu tố đã biết; 2. Tìm chiều cao; 3. Tính diện tích đáy; 4. Áp dụng công thức tính thể tích.
Alt text: Lưu ý: Đọc kỹ đề bài, vẽ hình chính xác, lựa chọn công thức phù hợp và kiểm tra kết quả cẩn thận khi giải bài toán thể tích.
5. Bài Tập Luyện Tập
(Các bài tập luyện tập được giữ nguyên như bài gốc)