Thể Tích Khối Chóp Bằng: Công Thức, Bài Tập và Ứng Dụng

Thể tích khối chóp là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về thể tích khối chóp, từ khái niệm cơ bản đến các dạng bài tập thường gặp, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Khái Niệm Cơ Bản về Hình Chóp

Trước khi đi sâu vào công thức tính thể tích khối chóp, chúng ta cần hiểu rõ về hình chóp. Hình chóp là một hình đa diện có một mặt đáy là đa giác, các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh, gọi là đỉnh của hình chóp. Đường cao của hình chóp là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh xuống mặt đáy và vuông góc với mặt đáy.

Alt: Hình ảnh minh họa hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác, các loại hình chóp thường gặp trong bài toán thể tích.

Hình chóp thường được phân loại dựa trên hình dạng của mặt đáy, ví dụ hình chóp tam giác (đáy là tam giác), hình chóp tứ giác (đáy là tứ giác), hình chóp ngũ giác, v.v.

Một số tính chất quan trọng của hình chóp:

• Nếu các cạnh bên của hình chóp bằng nhau, thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Nếu các mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy các góc bằng nhau, thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
• Nếu một mặt bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy, thì chân đường cao của hình chóp là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh hình chóp xuống cạnh đáy của mặt bên đó.
• Nếu hai mặt bên của hình chóp cùng vuông góc với mặt đáy, thì giao tuyến của hai mặt bên đó vuông góc với mặt đáy.

Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp

Công thức tổng quát để tính thể tích khối chóp là:

V = (1/3) S h

Trong đó:

• V: Thể tích khối chóp
• S: Diện tích mặt đáy của hình chóp
• h: Chiều cao của hình chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy)

Alt: Minh họa công thức V = (1/3) S h, công thức quan trọng nhất để tính thể tích khối chóp.

Để áp dụng công thức này, bạn cần xác định chính xác diện tích mặt đáy (S) và chiều cao (h) của hình chóp.

Các Dạng Toán Thường Gặp và Bài Tập Vận Dụng

Có rất nhiều dạng bài toán liên quan đến thể tích khối chóp, mỗi dạng có một cách tiếp cận và phương pháp giải khác nhau. Dưới đây là một số dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa:

1. Tính Thể Tích Khối Chóp Khi Biết Mặt Bên Vuông Góc Với Đáy

Dạng toán này thường cho biết một hoặc hai mặt bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy. Trong trường hợp này, đường cao của hình chóp thường là đường cao của mặt bên vuông góc với đáy.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), BC = 4a, BA = 3a, góc SBC bằng 30 độ và SB = 2a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Alt: Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABC với mặt bên SBC vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, dạng toán thể tích thường gặp.

Giải:

1. Kẻ SH vuông góc với BC (H thuộc BC). Vì (SBC) vuông góc (ABC) nên SH vuông góc với (ABC).
2. Xét tam giác SHB vuông tại H: SH = SB sin(SBC) = 2a√3 sin(30°) = a√3
3. Diện tích tam giác ABC: S_ABC = (1/2) BA BC = (1/2) 3a 4a = 6a²
4. Thể tích khối chóp S.ABC: V = (1/3) SH S_ABC = (1/3) a√3 6a² = 2a³√3

2. Tính Thể Tích Khối Chóp Khi Biết Cạnh Bên Vuông Góc Với Đáy

Trong dạng toán này, một cạnh bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy, cạnh bên này chính là đường cao của hình chóp.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Alt: Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABC với cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, cạnh SA đóng vai trò là đường cao của khối chóp.

Giải:

1. Ta có AB² + AC² = 6² + 8² = 100 = BC² => Tam giác ABC vuông tại A.
2. Diện tích tam giác ABC: S_ABC = (1/2) AB AC = (1/2) 6 8 = 24
3. Thể tích khối chóp S.ABC: V = (1/3) SA S_ABC = (1/3) 4 24 = 32

3. Tính Thể Tích Khối Chóp Đáy Là Hình Vuông

Khi đáy của hình chóp là hình vuông, việc tính diện tích đáy trở nên đơn giản. Quan trọng là xác định chiều cao của hình chóp.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 độ, cạnh SA vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Alt: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy, bài toán thường gặp khi tính thể tích.

Giải:

1. Vì ABCD là hình vuông nên BC vuông góc AB.
2. SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc BC.
3. Suy ra BC vuông góc (SAB). Do đó, góc giữa SC và (SAB) là góc CSB = 30°.
4. BC/SB = tan(30°) = √3/3 => SB = √3a
5. SA = √(SB² – AB²) = √(3a² – a²) = a√2
6. Diện tích hình vuông ABCD: S_ABCD = a²
7. Thể tích khối chóp S.ABCD: V = (1/3) SA S_ABCD = (1/3) a√2 a² = (a³√2)/3

4. Tính Thể Tích Khối Chóp Lập Phương

Khối chóp lập phương là trường hợp đặc biệt, thể tích được tính trực tiếp dựa trên cạnh của hình lập phương.

Ví dụ: Cho một hình chóp lập phương có đường chéo dài 27cm. Tính thể tích của hình chóp này.

Alt: Hình ảnh minh họa khối chóp lập phương, một dạng hình chóp đặc biệt với các mặt là hình vuông.

Giải:

1. Độ dài cạnh của hình lập phương: a = 27/√3 (cm)
2. Thể tích hình chóp lập phương: V = a³ = (27/√3)³ = 6561/√3 (cm³)

5. Tính Thể Tích Khối Chóp Lăng Trụ Tam Giác Đều

Khối chóp lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều và các mặt bên là hình chữ nhật.

Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a = 2cm và chiều cao h = 3cm. Tính thể tích khối chóp lăng trụ này.

Alt: Hình ảnh minh họa khối lăng trụ tam giác đều, một dạng khối đa diện thường gặp trong các bài toán thể tích.

Giải:

1. Diện tích đáy ABC: S_ABC = (a²√3)/4 = (2²√3)/4 = √3 (cm²)
2. Thể tích khối lăng trụ: V = S_ABC h = √3 3 = 3√3 (cm³)

6. Tính Thể Tích Khối Chóp Đáy Lục Giác Đều

Khi đáy là lục giác đều, ta chia lục giác thành 6 tam giác đều để tính diện tích.

Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là lục giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 30 độ. Tính thể tích hình chóp này.

Alt: Hình ảnh minh họa hình chóp có đáy là lục giác đều, một dạng bài toán phức tạp hơn về thể tích.

Giải:

1. Gọi S.ABCDEF là hình chóp, O là tâm đáy.
2. OA = OB = OC = OD = OE = OF = a. Tam giác OAB đều cạnh a.
3. Diện tích đáy: S_ABCDEF = 6 * S_OAB = (3a²√3)/2
4. SO vuông góc (ABCDEF) => Góc SAO = 30°
5. SO = OA * tan(30°) = (a√3)/3
6. V = (1/3) S_ABCDEF SO = (1/3) (3a²√3)/2 (a√3)/3 = a³/2

7. Tính Thể Tích Khối Chóp Có Các Cạnh Bên Đôi Một Vuông Góc

Trong trường hợp này, ba cạnh bên xuất phát từ đỉnh vuông góc với nhau, giúp việc tính toán trở nên đơn giản.

Ví dụ: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SB = 4a, SA = 3a, SC = 5a. Tính thể tích hình chóp này.

Alt: Hình ảnh minh họa tứ diện S.ABC với các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc, một trường hợp đặc biệt dễ tính thể tích.

Giải:

1. SA vuông góc SC, SA vuông góc SB => SA vuông góc (SBC).
2. V = (1/3) SA S_SBC = (1/6) SA SB SC = (1/6) 3a 4a 5a = 10a³

8. Tính Thể Tích Khối Chóp Tròn Xoay (Hình Nón)

Công thức tính thể tích

V = (1/3) B h = (1/3) π r² * h

Trong đó:

• r: Bán kính đáy hình nón
• h: Chiều cao hình nón

Alt: Hình ảnh minh họa hình nón tròn xoay, một dạng khối chóp đặc biệt với đáy là hình tròn.

Bài tập

Cho hình nón cao 2√5, một mặt phẳng qua đỉnh nón cắt nón thành thiết diện tam giác đều diện tích 9√3. Tính thể tích khối nón.

Giải:

1. Thiết diện là tam giác ABC đều, I là trung điểm BC, a là cạnh tam giác.
2. (a²√3)/4 = 9√3 => a = 6 => AI = 3√3
3. OI = √(AI² – AO²) = √(27 – 20) = √7
4. R = OC = √(OI² + IC²) = √(7 + 9) = 4
5. V = (1/3) π 4² * 2√5 = (32√5π)/3

Nắm vững các công thức và dạng bài tập trên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán về thể tích khối chóp trong các kỳ thi. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng và đạt kết quả tốt nhất!