Trong chương trình hình học không gian THPT, bài toán thể tích khối chóp là một phần quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT. Việc nắm vững lý thuyết, công thức và các dạng bài tập liên quan đến thể tích khối chóp là yếu tố then chốt để đạt điểm cao. Bài viết này sẽ tổng hợp đầy đủ kiến thức, công thức và các ví dụ minh họa giúp bạn chinh phục dạng toán này.
1. Lý Thuyết Nền Tảng Về Thể Tích Khối Chóp
Thể tích là đại lượng đặc trưng cho phần không gian mà một vật chiếm giữ. Đơn vị đo thể tích thường là mét khối (m³) hoặc centimet khối (cm³).
Hình ảnh minh họa khái niệm thể tích khối chóp, đáy và chiều cao.
Công thức tính thể tích khối chóp tổng quát:
Trong đó:
- V: Thể tích khối chóp.
- S: Diện tích mặt đáy.
- h: Chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).
Công thức tỉ lệ thể tích (dành cho khối chóp tam giác):
Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó, tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC được tính theo công thức:
Hình ảnh minh họa công thức tỉ lệ thể tích của hai khối chóp tam giác.
2. Các Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Thường Gặp
Dưới đây là tổng hợp 12 công thức tính thể tích khối chóp thường gặp, được phân loại theo từng dạng hình chóp cụ thể để bạn dễ dàng áp dụng:
2.1. Khối Chóp Có Mặt Bên Vuông Góc Với Đáy
Khi một hình chóp có một hoặc nhiều mặt bên vuông góc với mặt đáy, đường cao của khối chóp thường nằm trên mặt bên vuông góc đó.
Để xác định chiều cao, ta dựa vào định lý: Nếu một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì mặt phẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia.
Hình ảnh minh họa cách xác định đường cao trong trường hợp mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC). Biết SB = 2a√3 và góc SBC = 30°, tính thể tích khối chóp S.ABC.
Hình ảnh minh họa bài toán ví dụ về tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Giải:
- Kẻ SH vuông góc BC tại H. Do (SBC) vuông góc (ABC) nên SH vuông góc (ABC).
- SH là đường cao của khối chóp.
- Trong tam giác vuông SHB: SH = SB * sin(SBC) = a√3.
- Diện tích đáy ABC: SABC = (1/2) BA BC = 6a².
- Thể tích khối chóp: V = (1/3) SH SABC = 2a³√3.
2.2. Khối Chóp Có Cạnh Bên Vuông Góc Với Đáy
Nếu một cạnh bên của khối chóp vuông góc với mặt đáy, cạnh bên đó chính là đường cao của khối chóp.
Ví dụ: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Hình ảnh minh họa bài toán ví dụ về tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
Giải:
- SA là đường cao của khối chóp (h = 4).
- Tam giác ABC có 6² + 8² = 10² nên là tam giác vuông tại A.
- Diện tích đáy ABC: SABC = (1/2) AB AC = 24.
- Thể tích khối chóp: V = (1/3) SA SABC = (1/3) 4 24 = 32.
2.3. Khối Chóp S.ABCD Có Đáy Là Hình Vuông
Nếu đáy của khối chóp là hình vuông, việc tính diện tích đáy trở nên đơn giản hơn (S = a², với a là cạnh hình vuông).
Ví dụ: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Tính thể tích khối chóp.
2.4. Thể Tích Khối Chóp Lập Phương
Khối lập phương là trường hợp đặc biệt của khối chóp, với tất cả các mặt là hình vuông. Thể tích khối chóp lập phương được tính bằng công thức:
V = a³ (với a là độ dài cạnh của hình lập phương).
Ví dụ: Tính thể tích khối chóp lập phương có độ dài đường chéo là 27 cm.
2.5. Thể Tích Khối Chóp Lăng Trụ Tam Giác Đều
Khối lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều và các mặt bên là hình chữ nhật.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a = 2 cm và chiều cao h = 3 cm. Tính thể tích khối chóp lăng trụ này.
Hình ảnh minh họa bài toán ví dụ về tính thể tích khối chóp lăng trụ tam giác đều.
Giải:
- Diện tích đáy ABC: SABC = (a²√3)/4 = √3 cm².
- Thể tích khối chóp lăng trụ: V = SABC * h = 3√3 cm³.
2.6. Thể Tích Khối Chóp Lục Giác Đều
Khối chóp lục giác đều có đáy là hình lục giác đều.
Ví dụ: Một khối chóp lục giác đều, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 30 độ, cạnh đáy a. Tính thể tích khối chóp.
Hình ảnh minh họa bài toán ví dụ về tính thể tích khối chóp lục giác đều.
2.7. Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Lăng Trụ
Thể tích khối chóp lăng trụ được tính bằng công thức: V = B * h (với B là diện tích đáy và h là chiều cao).
2.8. Tính Thể Tích Khối Chóp Khi Biết 3 Cạnh Bên
Trong trường hợp biết độ dài 6 cạnh của khối tứ diện, ta sử dụng công thức tổng quát:
V = √[ (4a²b²c² – a²(b² + c² – d²)² – b²(c² + a² – e²)² – c²(a² + b² – f²)² + (b² + c² – d²)(c² + a² – e²)(a² + b² – f²) ) / 288 ]
(Với a, b, c là độ dài 3 cạnh bên và d, e, f là độ dài 3 cạnh đáy).
Ví dụ: Cho khối tứ diện ABCD có AB = CD = 8, AD = BC = 5 và AC = BD = 7. Tính thể tích khối chóp.
Hình ảnh minh họa bài toán ví dụ về tính thể tích khối chóp khi biết độ dài tất cả các cạnh.
2.9. Thể Tích Khối Chóp Các Cạnh Đôi Một Vuông Góc
Nếu các cạnh SA, SB, SC của khối chóp S.ABC đôi một vuông góc với nhau, thể tích khối chóp được tính bằng công thức:
V = (1/6) SA SB * SC
Ví dụ: Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA = 3a, SB = 4a, SC = 5a. Tính theo a thể tích khối chóp V của khối tứ diện SABC.
2.10. Thể Tích Khối Chóp Tròn Xoay (Khối Nón)
Thể tích khối chóp tròn xoay (khối nón) được tính bằng công thức:
V = (1/3) π r² * h (với r là bán kính đáy và h là chiều cao).
Hình ảnh minh họa bài toán ví dụ về tính thể tích khối chóp tròn xoay (khối nón).
Hình ảnh minh họa một ví dụ khác về bài toán tính thể tích khối chóp tròn xoay.
2.11. Tính Thể Tích Của Khối Chóp Tam Giác Đều
Ví dụ: Tính thể tích khối chóp tam giác đều SABC biết chiều cao hình chóp bằng h, góc SBA = α.
Hình ảnh minh họa bài toán ví dụ về tính thể tích khối chóp tam giác đều.
2.12. Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều Cạnh Đáy Bằng a
Ví dụ: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều V có tất cả các cạnh bằng a.
Hình ảnh minh họa bài toán ví dụ về tính thể tích khối chóp tứ giác đều.
Bài viết đã tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa về thể tích khối chóp. Hy vọng rằng với những kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán liên quan đến thể tích khối chóp trong các kỳ thi. Chúc bạn thành công!
