Định nghĩa tập hợp con
Trong toán học, tập hợp con (hay còn gọi là tập con) là một khái niệm quan trọng. Một tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều đồng thời là phần tử của B. Điều này có nghĩa là, nếu bạn tìm thấy bất kỳ phần tử nào trong A mà không thuộc B, thì A không phải là tập hợp con của B.
Ký hiệu
Để biểu diễn mối quan hệ tập hợp con, ta sử dụng ký hiệu (A subset B) (đọc là “A là tập con của B” hoặc “A chứa trong B”). Ngược lại, (B supset A) (đọc là “B chứa A”) cũng mang ý nghĩa tương tự.
Lưu ý quan trọng:
- Bất kỳ tập hợp nào cũng là tập hợp con của chính nó: (A subset A).
- Tập hợp rỗng ((emptyset)) là tập hợp con của mọi tập hợp: (emptyset subset A).
- Nếu A không phải là tập hợp con của B, ta viết (A notsubset B).
- Khi (A subset B) hoặc (B subset A), ta nói A và B có quan hệ bao hàm.
Số lượng tập hợp con
Một tập hợp có n phần tử sẽ có tổng cộng (2^n) tập hợp con (bao gồm cả tập hợp rỗng và chính nó). Đây là một kết quả quan trọng trong lý thuyết tập hợp và có nhiều ứng dụng trong các bài toán đếm và tổ hợp.
Minh họa bằng biểu đồ Ven
Biểu đồ Ven là một công cụ trực quan hữu ích để biểu diễn các tập hợp và mối quan hệ giữa chúng. Trong biểu đồ Ven, một tập hợp thường được biểu diễn bằng một hình tròn hoặc elip khép kín.
Alt text: Minh họa trực quan tập hợp A trong biểu đồ Ven, thể hiện các phần tử bên trong đường tròn.
Để minh họa A là tập con của B, ta vẽ hình tròn biểu diễn A nằm hoàn toàn bên trong hình tròn biểu diễn B.
Alt text: Biểu đồ Ven thể hiện tập A là tập con của B, vòng tròn A nằm hoàn toàn trong vòng tròn B, minh họa trực quan quan hệ bao hàm.
Mối quan hệ giữa các tập hợp số
Các tập hợp số quen thuộc như số tự nhiên ((mathbb{N})), số nguyên ((mathbb{Z})), số hữu tỉ ((mathbb{Q})) và số thực ((mathbb{R})) có mối quan hệ bao hàm lẫn nhau:
(mathbb{N} subset mathbb{Z} subset mathbb{Q} subset mathbb{R})
Điều này có nghĩa là mọi số tự nhiên đều là số nguyên, mọi số nguyên đều là số hữu tỉ và mọi số hữu tỉ đều là số thực.
Alt text: Sơ đồ Venn biểu diễn quan hệ bao hàm giữa tập hợp số tự nhiên (N), số nguyên (Z), số hữu tỉ (Q) và số thực (R), với N nằm trong Z, Z nằm trong Q và Q nằm trong R.
Cách kiểm tra A có phải là tập con của B hay không
Để chứng minh A là tập con của B, ta cần chứng minh rằng mọi phần tử x thuộc A đều thuộc B:
(A subset B Leftrightarrow forall x in A Rightarrow x in B)
Ngược lại, để chứng minh A không phải là tập con của B, ta chỉ cần tìm ra một phần tử x thuộc A nhưng không thuộc B:
(A notsubset B Leftrightarrow exists x in A: x notin B)
Định nghĩa: Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau (ký hiệu A = B) nếu chúng chứa chính xác các phần tử giống nhau. Điều này tương đương với việc A là tập con của B và B cũng là tập con của A:
(A = B Leftrightarrow left{ begin{array}{l} A subset B B subset A end{array} right.)
Ví dụ minh họa
Cho tập hợp (A = { 2; 3; 7 }).
- (B = { 2 }) và (C = { 2; 7 }) là các tập con của A. Kí hiệu: (B subset A), (C subset A).
- (D = { 4; 5 }) và (E = { 0 }) không là tập con của A. Kí hiệu: (D notsubset A), (E notsubset A).
Ví dụ về hai tập hợp bằng nhau
Giả sử C là tập hợp các hình thoi có hai đường chéo bằng nhau và D là tập hợp các hình vuông.
Ta có: (C subset D) và (D subset C) nên (C = D). Điều này có nghĩa là mọi hình thoi có hai đường chéo bằng nhau đều là hình vuông và ngược lại.
