Trong hình học vectơ, khái niệm “hai vectơ cùng phương” là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và cách nhận biết hai vectơ cùng phương giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan và xây dựng nền tảng vững chắc cho các khái niệm nâng cao hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về chủ đề này.
Định Nghĩa Vectơ Cùng Phương
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Giá của một vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hình ảnh minh họa ba vectơ cùng phương, trong đó vectơ a cùng hướng với vectơ c và ngược hướng với vectơ b.
Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Vectơ không (ký hiệu là 0) được coi là cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.
Cách Nhận Biết Hai Vectơ Cùng Phương
Có nhiều cách để nhận biết hai vectơ có cùng phương hay không:
-
Dựa vào định nghĩa: Kiểm tra xem giá của hai vectơ có song song hoặc trùng nhau hay không. Cách này thường được sử dụng khi bài toán cho hình học cụ thể.
-
Sử dụng tích vô hướng: Nếu hai vectơ a và b khác vectơ không và cùng phương, thì tồn tại một số k khác 0 sao cho a = k b.
-
Trong hệ tọa độ: Cho vectơ a = (x1; y1) và vectơ b = (x2; y2). Hai vectơ này cùng phương khi và chỉ khi x1/x2 = y1/y2 (với điều kiện x2 và y2 khác 0).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định số vectơ khác không cùng phương với vectơ OB mà có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác.
Hình ảnh minh họa lục giác đều ABCDEF với tâm O, xác định các vectơ cùng phương với OB.
Giải:
Vì ABCDEF là lục giác đều tâm O nên BE // CD // AF. Do đó, OB // CD // AF. Các vectơ cùng phương với vectơ OB mà có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lục giác là: CD, DC, AF, FA, BE, EB. Vậy có 6 vectơ thỏa mãn.
Ví dụ 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b.
B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b.
C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b, đó là vectơ 0.
D. Cả A, B, C đều sai.
Giải:
Theo quy ước, vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Do đó, đáp án C đúng.
Ví dụ 3: Cho điểm A và vectơ a khác vectơ 0. Xác định điểm M sao cho vectơ AM cùng phương với vectơ a.
Giải:
Hình ảnh minh họa điểm M nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với giá của vectơ a, thể hiện mối quan hệ cùng phương giữa vectơ AM và vectơ a.
Điểm M phải nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với giá của vectơ a. Khi đó, vectơ AM sẽ cùng phương với vectơ a.
Ứng Dụng Của Vectơ Cùng Phương
Khái niệm vectơ cùng phương có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học và vật lý:
- Chứng minh các điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC (hoặc BA và BC, hoặc CA và CB) cùng phương.
- Phân tích lực trong vật lý: Khi có nhiều lực tác dụng lên một vật, việc phân tích các lực theo phương song song giúp đơn giản hóa bài toán.
- Giải các bài toán liên quan đến tỉ số đoạn thẳng: Nếu hai vectơ AB và CD cùng phương, ta có thể suy ra mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng AB và CD.
Bài Tập Vận Dụng
- Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Chứng minh rằng các vectơ AI và AM cùng phương.
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4). Tìm tọa độ điểm C sao cho A, B, C thẳng hàng.
Hiểu rõ khái niệm “Thế Nào Là Hai Vectơ Cùng Phương” là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán hình học và vật lý. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong học tập.