Bất phương trình logarit là một phần quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12 và thường xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến bất phương trình logarit là rất quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan, chi tiết và dễ hiểu về cách tìm Tập Nghiệm Của Bất Phương Trình Logarit, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn củng cố kiến thức.
I. Lý Thuyết Cần Nắm Vững
1. Định Nghĩa Bất Phương Trình Logarit
Bất phương trình logarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.
2. Bất Phương Trình Logarit Cơ Bản
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng:
logₐ(f(x)) > blogₐ(f(x)) ≥ blogₐ(f(x)) < blogₐ(f(x)) ≤ b
Trong đó: a > 0, a ≠ 1 và f(x) là một biểu thức chứa ẩn x.
3. Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Logarit
Để giải bất phương trình logarit, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:
- Đưa về cùng cơ số: Sử dụng các công thức biến đổi logarit để đưa bất phương trình về dạng cơ bản, sau đó áp dụng các quy tắc giải bất phương trình.
- Đặt ẩn phụ: Đặt một biểu thức logarit bằng một biến mới để đơn giản hóa bất phương trình.
- Mũ hóa: Sử dụng hàm mũ để loại bỏ logarit và đưa bất phương trình về dạng đại số thông thường.
- Phương pháp hàm số và đánh giá: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit để so sánh và đánh giá các biểu thức.
II. Các Dạng Bài Tập Và Phương Pháp Giải Chi Tiết
Dạng 1: Bất Phương Trình Logarit Cơ Bản
A. Phương pháp giải
Xét bất phương trình logₐx ≥ m (tương tự cho các dạng logₐx ≤ m; logₐx > m; logₐx < m)
- Nếu
a > 1:logₐx ≥ m ⇔ x ≥ aᵐ
Alt text: Bất phương trình logarit cơ bản khi cơ số a lớn hơn 1, logax lớn hơn hoặc bằng m, suy ra x lớn hơn hoặc bằng a mũ m.
- Nếu
0 < a < 1:logₐx ≥ m ⇔ x ≤ aᵐ(chú ý đổi chiều bất phương trình)
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x - 1) < 3 là:
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x - 1 > 0 ⇔ x > 1
log₂(x - 1) < 3 ⇔ x - 1 < 2³ ⇔ x - 1 < 8 ⇔ x < 9
Kết hợp với điều kiện, ta có: 1 < x < 9.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1; 9).
Câu 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₀.₅(x + 2) > -1.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x + 2 > 0 ⇔ x > -2
log₀.₅(x + 2) > -1 ⇔ x + 2 < (0.5)⁻¹ ⇔ x + 2 < 2 ⇔ x < 0
Kết hợp với điều kiện, ta có: -2 < x < 0.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-2; 0).
Alt text: Ví dụ minh họa chi tiết cách giải một bất phương trình logarit đơn giản, kèm theo các bước biến đổi và điều kiện xác định.
Câu 3: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₃(2x + 1) ≤ 2.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: 2x + 1 > 0 ⇔ x > -1/2
log₃(2x + 1) ≤ 2 ⇔ 2x + 1 ≤ 3² ⇔ 2x + 1 ≤ 9 ⇔ 2x ≤ 8 ⇔ x ≤ 4
Kết hợp với điều kiện, ta có: -1/2 < x ≤ 4.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-1/2; 4].
Dạng 2: Bất Phương Trình Logarit Đưa Về Cùng Cơ Số
A. Phương pháp giải
Xét bất phương trình logₐf(x) > logₐg(x) (với a > 0, a ≠ 1)
- Nếu
a > 1:logₐf(x) > logₐg(x) ⇔ f(x) > g(x)(cùng chiều) - Nếu
0 < a < 1:logₐf(x) > logₐg(x) ⇔ f(x) < g(x)(đổi chiều)
Lưu ý: Luôn phải đặt điều kiện cho f(x) > 0 và g(x) > 0 để đảm bảo logarit có nghĩa.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₂(x + 1) > log₂(2x - 1).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x + 1 > 0 và 2x - 1 > 0 ⇔ x > -1 và x > 1/2. Vậy x > 1/2.
log₂(x + 1) > log₂(2x - 1) ⇔ x + 1 > 2x - 1 ⇔ x < 2
Kết hợp với điều kiện, ta có: 1/2 < x < 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1/2; 2).
Câu 2: Giải bất phương trình log₀.₃(x² + 1) < log₀.₃(3x - 1).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x² + 1 > 0 (luôn đúng) và 3x - 1 > 0 ⇔ x > 1/3.
log₀.₃(x² + 1) < log₀.₃(3x - 1) ⇔ x² + 1 > 3x - 1 ⇔ x² - 3x + 2 > 0 ⇔ (x - 1)(x - 2) > 0
Suy ra x < 1 hoặc x > 2.
Kết hợp với điều kiện x > 1/3, ta có nghiệm: 1/3 < x < 1 hoặc x > 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1/3; 1) ∪ (2; +∞).
Alt text: Các bước giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số, lưu ý đến điều kiện xác định và chiều của bất đẳng thức.
Câu 3: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₃(x² - 6x + 5) < log₃(4x - 4).
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x² - 6x + 5 > 0 và 4x - 4 > 0. Giải hệ này ta được 1 < x < 1 hoặc x > 5.
log₃(x² - 6x + 5) < log₃(4x - 4) ⇔ x² - 6x + 5 < 4x - 4 ⇔ x² - 10x + 9 < 0 ⇔ (x - 1)(x - 9) < 0
Suy ra 1 < x < 9.
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm 5 < x < 9.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5; 9).
Dạng 3: Bất Phương Trình Logarit Dùng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
A. Phương pháp giải
- Đặt
t = logₐu(x), trong đóu(x)là một biểu thức chứax. - Giải bất phương trình theo
t. - Thay lại giá trị
tđể tìmx. - Lưu ý đến điều kiện của
u(x)để đảm bảo logarit có nghĩa.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Giải bất phương trình (log₂x)² - 3log₂x + 2 > 0.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x > 0.
Đặt t = log₂x. Bất phương trình trở thành: t² - 3t + 2 > 0 ⇔ (t - 1)(t - 2) > 0
Suy ra t < 1 hoặc t > 2.
- Với
t < 1:log₂x < 1 ⇔ x < 2¹ ⇔ x < 2. Kết hợp với điều kiệnx > 0, ta có0 < x < 2. - Với
t > 2:log₂x > 2 ⇔ x > 2² ⇔ x > 4.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 2) ∪ (4; +∞).
Alt text: Minh họa cách đặt ẩn phụ để giải bất phương trình logarit, giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra nghiệm.
Câu 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₃²(x) - 4log₃(x) + 3 ≤ 0.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x > 0.
Đặt t = log₃(x). Bất phương trình trở thành: t² - 4t + 3 ≤ 0 ⇔ (t - 1)(t - 3) ≤ 0
Suy ra 1 ≤ t ≤ 3.
Thay lại t = log₃(x), ta có 1 ≤ log₃(x) ≤ 3 ⇔ 3¹ ≤ x ≤ 3³ ⇔ 3 ≤ x ≤ 27.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [3; 27].
Dạng 4: Bất Phương Trình Logarit Dùng Phương Pháp Mũ Hóa
A. Phương pháp giải
Sử dụng hàm mũ để loại bỏ logarit, đưa bất phương trình về dạng đại số.
Lưu ý: Cần xét cơ số của logarit lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1 để xác định chiều của bất phương trình sau khi mũ hóa.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Giải bất phương trình logₓ(2x + 3) < 2.
Hướng dẫn giải
Trường hợp 1: 0 < x < 1
logₓ(2x + 3) < 2 ⇔ 2x + 3 > x² ⇔ x² - 2x - 3 < 0 ⇔ (x + 1)(x - 3) < 0 ⇔ -1 < x < 3
Kết hợp với điều kiện 0 < x < 1, ta có 0 < x < 1.
Trường hợp 2: x > 1
logₓ(2x + 3) < 2 ⇔ 2x + 3 < x² ⇔ x² - 2x - 3 > 0 ⇔ (x + 1)(x - 3) > 0 ⇔ x < -1 hoặc x > 3
Kết hợp với điều kiện x > 1, ta có x > 3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 1) ∪ (3; +∞).
Alt text: Các bước biến đổi và giải bất phương trình logarit bằng cách sử dụng phép mũ hóa, cần chú ý đến giá trị của cơ số.
Câu 2: Giải bất phương trình logₓ₋₁(x + 1) > 1.
Hướng dẫn giải:
Trường hợp 1: 1 < x - 1 < 2 ⇔ 2 < x < 3
logₓ₋₁(x + 1) > 1 ⇔ x + 1 > x - 1 ⇔ 1 > -1 (luôn đúng)
Vậy nghiệm là 2 < x < 3.
Trường hợp 2: x - 1 > 2 ⇔ x > 3
logₓ₋₁(x + 1) > 1 ⇔ x + 1 > x - 1 ⇔ 1 > -1 (luôn đúng)
Vậy nghiệm là x > 3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (2; 3) ∪ (3; +∞).
Dạng 5: Bất Phương Trình Logarit Sử Dụng Hàm Số, Đánh Giá
A. Phương pháp giải
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit để so sánh và đánh giá các biểu thức. Nếu hàm số logarit đồng biến, bất phương trình giữ nguyên chiều. Nếu nghịch biến, bất phương trình đổi chiều.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Giải bất phương trình log₂(x + 1) + x > log₂(3 - x) + 1.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: -1 < x < 3
Bất phương trình tương đương với: log₂(x + 1) - log₂(3 - x) > 1 - x ⇔ log₂((x + 1)/(3 - x)) > 1 - x
Xét hàm số f(x) = log₂((x + 1)/(3 - x)) + x - 1. Ta thấy f(1) = 0.
Nhận thấy rằng hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 3). Do đó, f(x) > 0 khi x > 1 và f(x) < 0 khi x < 1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1; 3).
III. Bài Tập Tự Luyện
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình log₀.₅(x - 1) > -2 là:
A. (1; 5)
B. (1; +∞)
C. (-∞; 5)
D. (5; +∞)
Câu 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₃(x² - 2x) > 1.
A. (-∞; -1) ∪ (3; +∞)
B. (-1; 3)
C. (3; +∞)
D. (-∞; -1)
Câu 3: Giải bất phương trình (log₃x)² - log₃x - 2 ≤ 0.
A. [1/9; 9]
B. (0; 9]
C. [9; +∞)
D. (-∞; 1/9]
Câu 4: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₂(x + 3) < log₂(5 - x).
A. (-3; 1)
B. (1; 5)
C. (-3; 5)
D. (1; +∞)
Câu 5: Giải bất phương trình logₓ(x² - 3x + 4) > 2.
A. (1; 2)
B. (2; 4)
C. (1; 2) ∪ (2; 4)
D. (1; 4)
Đáp án:
- A
- A
- A
- A
- A
IV. Kết Luận
Việc nắm vững lý thuyết và các phương pháp giải bất phương trình logarit là rất quan trọng để đạt điểm cao trong các kỳ thi. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về chủ đề này. Chúc bạn học tốt!
