1. Bất Phương Trình Một Ẩn và Tập Nghiệm
Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến số, thường ký hiệu là x, so sánh hai biểu thức toán học (hàm số) f(x) và g(x) thông qua các phép so sánh như lớn hơn (>), nhỏ hơn (<), lớn hơn hoặc bằng (≥), hoặc nhỏ hơn hoặc bằng (≤). Ví dụ:
- 2x + 3 > 0
- x2 – 5x + 6 ≤ 0
Tập Nghiệm Của bất phương trình (S) là tập hợp tất cả các giá trị của ẩn số x thỏa mãn bất phương trình đó. Nói cách khác, khi thay một giá trị x thuộc tập nghiệm vào bất phương trình, ta được một mệnh đề đúng.
Đồ thị minh họa tập nghiệm của bất phương trình, biểu diễn trên trục số bằng các khoảng và đoạn
Alt: Đồ thị biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số, thể hiện các khoảng và đoạn nghiệm.
Ví dụ: Bất phương trình x + 2 > 0 có tập nghiệm là S = {x ∈ ℝ | x > -2}, tức là tất cả các số thực lớn hơn -2. Ta có thể viết S = (-2; +∞).
2. Các Loại Bất Phương Trình Thường Gặp
Bất phương trình được phân loại dựa trên dạng của biểu thức chứa ẩn:
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn: Có dạng ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, hoặc ax + b ≤ 0, với a và b là các hằng số, a ≠ 0.
- Bất phương trình bậc hai một ẩn: Có dạng ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0, hoặc ax2 + bx + c ≤ 0, với a, b, và c là các hằng số, a ≠ 0.
- Bất phương trình chứa căn: Là bất phương trình có chứa biểu thức dưới dấu căn.
- Bất phương trình hữu tỉ: Là bất phương trình có chứa phân thức mà mẫu số có chứa ẩn.
- Bất phương trình mũ: Là bất phương trình có ẩn ở số mũ.
- Bất phương trình logarit: Là bất phương trình có ẩn trong biểu thức logarit.
3. Các Bước Cơ Bản Tìm Tập Nghiệm của Bất Phương Trình
Để tìm tập nghiệm của một bất phương trình, ta thường thực hiện các bước sau:
-
Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Xác định các giá trị của ẩn số mà tại đó các biểu thức trong bất phương trình có nghĩa (ví dụ: mẫu số khác 0, biểu thức dưới căn bậc hai không âm).
-
Biến đổi tương đương: Sử dụng các phép biến đổi đại số để đơn giản hóa bất phương trình, đưa về dạng cơ bản hoặc quen thuộc. Các phép biến đổi tương đương bao gồm:
- Cộng (hoặc trừ) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số hoặc biểu thức.
- Nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số dương hoặc biểu thức dương.
- Nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số âm hoặc biểu thức âm và đổi chiều bất đẳng thức.
-
Giải bất phương trình: Tìm tất cả các giá trị của ẩn số thỏa mãn bất phương trình sau khi đã biến đổi. Sử dụng các quy tắc và phương pháp giải bất phương trình phù hợp với từng dạng.
-
So sánh với ĐKXĐ: Kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện xác định hay không. Loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn.
-
Kết luận: Viết tập nghiệm của bất phương trình, bao gồm tất cả các giá trị thỏa mãn bất phương trình và điều kiện xác định (nếu có).
4. Ví Dụ Minh Họa Cách Tìm Tập Nghiệm
Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình (sqrt{f(x)} < g(x) Leftrightarrow left{ begin{matrix} g(x) > 0 \ 0 leq f(x) < g^{2}(x) \ end{matrix} right.)
Alt: Công thức giải bất phương trình có căn thức bậc hai: căn f(x) nhỏ hơn g(x).
Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) ≥ 5
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = (mathbb{R})
Đặt x2 + 3x – 3 = t ⟹ x2 + 3x + 1 = t + 4
Bất phương trình (*) ⟺ t(t+4) ≥ 5
⟺ t2 + 4t – 5 ≥ 0
⟺ t ∈ (-∞; -5] ∪ [1; +∞)
Alt: Các bước biến đổi để tìm ra tập nghiệm của phương trình bậc hai thông qua phép đặt ẩn phụ t.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (-∞; -4] ∪ [1; +∞)
Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: (frac{{{x^2} – 4}}{{{x^2} – 6x + 8}} leqslant 0)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định x2 – 6x + 8 ≠ 0 ⟺ x ≠ 2, x ≠ 4
(frac{{{x^2} – 4}}{{{x^2} – 6x + 8}} leqslant 0 Leftrightarrow frac{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}}{{left( {x – 4} right)left( {x – 2} right)}} leqslant 0 Leftrightarrow frac{{x + 2}}{{x – 4}} leqslant 0)
Lập bảng xét dấu ta có:
Từ bảng xét dấu ta kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ [ -2 ; 4)
5. Bài Tập Luyện Tập Về Tập Nghiệm Của Bất Phương Trình
Bài 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau:
a) 3x – 5 > 7
b) -2x + 1 ≤ 3
c) x2 – 4x + 3 < 0
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) (frac{x + 1}{x – 2} > 0)
b) (sqrt{x – 1} < 3)
c) |x + 2| ≥ 1
Bài 3: Tìm m để bất phương trình x2 + 2mx + m + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.
6. Kết Luận
Việc xác định tập nghiệm của bất phương trình là một kỹ năng quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và cao cấp. Nắm vững khái niệm, các bước giải và các dạng bài tập thường gặp sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này.
