Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học. Trong đó, tập hợp rỗng đóng vai trò quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ về tập hợp rỗng, kí hiệu, cách xác định và các bài tập vận dụng.
1. Số Phần Tử của Tập Hợp
Một tập hợp có thể chứa một hoặc nhiều phần tử, hoặc không chứa phần tử nào. Số phần tử của một tập hợp là số lượng các phần tử riêng biệt trong tập hợp đó.
- Tập hợp hữu hạn: Là tập hợp mà ta có thể đếm được tất cả các phần tử.
- Kí hiệu: Số phần tử của tập hợp E được kí hiệu là n(E).
2. Tập Hợp Rỗng: Định Nghĩa và Kí Hiệu
Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào.
- Kí hiệu: Tập hợp rỗng được kí hiệu là ∅.
- Số phần tử: n(∅) = 0.
Ảnh: Minh họa kí hiệu tập hợp rỗng trong toán học, thường được sử dụng để biểu diễn một tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào.
3. Kí Hiệu Thuộc và Không Thuộc
Để biểu diễn mối quan hệ giữa một phần tử và một tập hợp, ta sử dụng các kí hiệu sau:
- ∈: Đọc là “phần tử của” hoặc “thuộc”. Ví dụ: x ∈ A nghĩa là x là một phần tử của tập hợp A.
- ∉: Đọc là “không phải là phần tử của” hoặc “không thuộc”. Ví dụ: x ∉ A nghĩa là x không phải là một phần tử của tập hợp A.
Ví dụ: Cho tập hợp A = {1, 2, 3}. Ta có: 1 ∈ A, nhưng 4 ∉ A.
4. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tập hợp A = {x ∈ ℕ | x là ước của 35}. Tìm số phần tử của tập hợp A.
Giải:
Ước số tự nhiên của 35 là 1, 5, 7, 35.
Vậy A = {1, 5, 7, 35}.
Số phần tử của A là n(A) = 4.
Ví dụ 2: Cho tập hợp B = {x ∈ ℤ | x² – 2 = 0}. Viết các phần tử của tập hợp B.
Giải:
Phương trình x² – 2 = 0 có nghiệm x = √2 và x = -√2.
Vì x ∈ ℤ (tập hợp số nguyên), không có giá trị nào của x thỏa mãn.
Vậy B = ∅ (tập hợp rỗng).
Ảnh: Biểu diễn phương trình bậc hai x² – 2 = 0, minh họa cho việc tìm nghiệm trong tập số nguyên để xác định tập hợp rỗng.
Ví dụ 3: Cho tập hợp H = {x ∈ ℤ | x² – 3x + 2 = 0}. Phát biểu nào sau đây sai?
a) 1 ∈ H;
b) 5 ∈ H.
Giải:
Phương trình x² – 3x + 2 = 0 có nghiệm x = 1 và x = 2.
Vậy H = {1, 2}.
Suy ra 1 ∈ H và 5 ∉ H.
Phát biểu sai là b) 5 ∈ H.
5. Bài Tập Áp Dụng
Bài 1: Cho tập hợp E = {x ∈ ℕ | x là ước chung của 20 và 40}. Tập hợp E có bao nhiêu phần tử?
A. 5;
B. 6;
C. 3;
D. 4.
Bài 2: Cho tập hợp X = {x ∈ ℤ | (x² – 3)(4x² – 10x + 6) = 0}. Tập hợp X có bao nhiêu phần tử?
A. 1;
B. 2;
C. 3;
D. 4.
Bài 3: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng?
A. A = {x ∈ ℤ | x² – 9 = 0};
B. B = {x ∈ ℝ | x² – 6 = 0};
C. C = {x ∈ ℝ | x² + 1 = 0};
D. D = {x ∈ ℝ | x² – 4x + 3 = 0}.
Bài 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào không phải là tập hợp rỗng?
A. A = {x ∈ ℝ | x² + x + 3 = 0};
B. B = {x ∈ ℕ* | x² + 6x + 5 = 0};
C. C = {x ∈ ℕ* | x(x² – 5) = 0};
D. D = {x ∈ ℝ | x² – 9x + 20 = 0}.
Bài 5: Cho các tập hợp sau:
A = {x ∈ ℤ | 2 < x < 3};
B = {x ∈ ℕ | 3 < x < 4};
C = {x ∈ ℕ | x < 0}.
Trong các tập hợp trên, có bao nhiêu tập hợp là tập hợp rỗng?
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Bài 6: Cho tập hợp A = {x ∈ ℤ | x² + ax + 3 = 0}. a nhận giá trị nào sau đây thì tập hợp A không phải là tập hợp rỗng?
A. a = – 4;
B. a = – 5;
C. a = – 6;
D. a = – 7.
Bài 7: Cho tập hợp A = {x ∈ ℕ | 3 < x < m}. Tìm giá trị của m để A là tập hợp rỗng?
A. m = 7;
B. m = 5;
C. m = 9;
D. m = 8.
Ảnh: Ví dụ bài tập tìm điều kiện của tham số để tập hợp trở thành tập hợp rỗng, một dạng toán thường gặp liên quan đến tập hợp rỗng.
Bài 8: Đáp án nào sau đây đúng?
A. – 2 ∈ ℕ;
B. √2 ∈ ℤ;
C. 0 ∈ ℕ*;
D. 2 ∈ ℕ.
Bài 9: Tập hợp C = {x ∈ ℤ | (x² – 5x + 4)(x² – 72x + 3) = 0} có bao nhiêu phần tử?
A. n(C) = 2;
B. n(C) = 3;
C. n(C) = 4;
D. n(C) = 5;
Bài 10: Cho tập hợp D gồm các phần tử là bội dương của 7 và bé hơn 40. Hỏi tập hợp D có bao nhiêu phần tử?
A. n(D) = 5;
B. n(D) = 6;
C. n(D) = 7;
D. n(D) = 8.
Hiểu rõ về tập hợp rỗng, kí hiệu và cách xác định sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến tập hợp một cách dễ dàng hơn. Luyện tập thường xuyên với các bài tập áp dụng sẽ củng cố kiến thức và kỹ năng của bạn.