Trong toán học, khái niệm Tập Con đóng vai trò nền tảng, xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về tập con, bao gồm định nghĩa, ký hiệu, tính chất, cách xác định và mối liên hệ với các khái niệm tập hợp khác.
Một tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Nói cách khác, nếu bạn lấy bất kỳ phần tử nào từ A, bạn đều có thể tìm thấy nó trong B.
Ký hiệu:
- (A subset B) (A là tập con của B, hoặc A chứa trong B)
- (B supset A) (B chứa A)
Các tính chất quan trọng của tập con:
- Mọi tập hợp đều là tập con của chính nó: (A subset A)
- Tập hợp rỗng là tập con của mọi tập hợp: (emptyset subset A)
- Nếu A không phải là tập con của B, ta ký hiệu: (A notsubset B)
- Nếu (A subset B) hoặc (B subset A), ta nói A và B có quan hệ bao hàm.
Số lượng tập con:
Một tập hợp A có n phần tử sẽ có (2^n) tập con. Đây là một kết quả quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến tập hợp.
Biểu đồ Ven:
Biểu đồ Ven là một công cụ trực quan để biểu diễn các tập hợp và mối quan hệ giữa chúng. Tập hợp được biểu diễn bằng một hình phẳng khép kín.
Alt: Biểu đồ Ven minh họa một tập hợp được biểu diễn bằng một hình tròn khép kín, thể hiện các phần tử bên trong.
Để biểu diễn A là tập con của B bằng biểu đồ Ven, ta vẽ hình tròn biểu diễn A nằm hoàn toàn bên trong hình tròn biểu diễn B.
Alt: Biểu đồ Ven thể hiện mối quan hệ tập con, với vòng tròn A nằm hoàn toàn trong vòng tròn B, biểu thị A là tập con của B.
Mối quan hệ giữa các tập hợp số:
Các tập hợp số quen thuộc như số tự nhiên ((mathbb{N})), số nguyên ((mathbb{Z})), số hữu tỉ ((mathbb{Q})), và số thực ((mathbb{R})) có mối quan hệ bao hàm lẫn nhau:
(mathbb{N} subset mathbb{Z} subset mathbb{Q} subset mathbb{R})
Alt: Sơ đồ Venn minh họa mối quan hệ tập hợp con giữa các tập số: số tự nhiên (N) nằm trong số nguyên (Z), số nguyên nằm trong số hữu tỉ (Q), và số hữu tỉ nằm trong số thực (R).
Cách kiểm tra A có phải là tập con của B:
- (A subset B Leftrightarrow forall x in A) suy ra (x in B) (Mọi phần tử x thuộc A đều thuộc B).
- (A notsubset B Leftrightarrow exists x in A: x notin B) (Tồn tại một phần tử x thuộc A nhưng không thuộc B).
Hai tập hợp bằng nhau:
Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử của A cũng là phần tử của B và ngược lại.
Ký hiệu: (A = B)
Nhận xét: (A = B Leftrightarrow left{ begin{array}{l} A subset B B subset A end{array} right.)
Ví dụ minh họa:
Cho tập hợp (A = {2; 3; 7}).
Các tập (B = {2}, C = {2; 7}) là các tập con của A. Ký hiệu: (B subset A, C subset A)
Các tập (D = {4; 5}, E = {0}) không là tập con của A. Ký hiệu: (D notsubset A, E notsubset A)
Ví dụ về hai tập hợp bằng nhau:
C là tập hợp các hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
D là tập hợp các hình vuông.
Ta có: (C subset D) và (D subset C) nên (C = D) (Tập hợp các hình thoi có hai đường chéo bằng nhau chính là tập hợp các hình vuông).
