Tam thức bậc hai là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là khi xét đến dấu của tam thức. Một trong những vấn đề thường gặp là xác định điều kiện để một tam thức bậc hai luôn dương với mọi giá trị của x. Bài viết này sẽ đi sâu vào vấn đề này, cung cấp lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.
Khái niệm Tam Thức Bậc Hai
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng:
f(x) = ax² + bx + c
Trong đó a, b, và c là các hệ số, với a ≠ 0.
Đồ thị minh họa sự biến thiên của tam thức bậc hai, giúp hình dung rõ hơn về dấu của tam thức khi hệ số ‘a’ dương.
Điều Kiện Để Tam Thức Bậc Hai Luôn Dương Với Mọi x
Tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c được gọi là luôn dương với mọi x (ký hiệu là f(x) > 0, ∀x ∈ R) khi và chỉ khi đồ thị của nó nằm hoàn toàn phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Hệ số a dương:
a > 0. Điều này đảm bảo rằng parabol có bề lõm hướng lên trên. - Biệt thức delta âm:
Δ = b² - 4ac < 0. Điều này đảm bảo rằng phương trìnhax² + bx + c = 0không có nghiệm thực, tức là đồ thị không cắt trục hoành.
Nếu thay dấu > bằng dấu >=, tam thức bậc hai không âm với mọi x ( f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R) khi và chỉ khi:
- Hệ số a dương:
a > 0 - Biệt thức delta không dương:
Δ = b² - 4ac ≤ 0
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm m để tam thức f(x) = x² - 2mx + 4 luôn dương với mọi x.
Giải:
Để f(x) > 0, ∀x ∈ R, ta cần:
a = 1 > 0(luôn đúng)Δ = (-2m)² - 4 * 1 * 4 < 0
=> 4m² - 16 < 0
=> m² < 4
=> -2 < m < 2
Vậy, với -2 < m < 2, tam thức f(x) = x² - 2mx + 4 luôn dương với mọi x.
Ví dụ 2: Tìm m để tam thức f(x) = (m-1)x² + 2(m-1)x + m + 3 dương với mọi x.
Giải:
Để f(x) > 0, ∀x ∈ R, ta cần xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1:
m - 1 = 0 <=> m = 1. Khi đóf(x) = 4 > 0(luôn đúng). Vậym = 1thỏa mãn. - Trường hợp 2:
m - 1 ≠ 0. Khi đó, ta cần:a = m - 1 > 0 <=> m > 1Δ' = (m-1)² - (m-1)(m+3) < 0 <=> (m-1)(m-1 - m - 3) < 0 <=> (m-1)(-4) < 0 <=> m - 1 > 0 <=> m > 1
Kết hợp cả hai trường hợp, ta có m > 1 thì tam thức luôn dương.
Ứng Dụng Của Tam Thức Luôn Dương
Việc xác định khi nào một tam thức bậc hai luôn dương có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:
- Giải bất phương trình: Giúp xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: Xác định điều kiện để một hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
- Khảo sát hàm số: Xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến điều kiện tồn tại: Ví dụ, tìm điều kiện để một phương trình bậc hai có nghiệm hoặc vô nghiệm.
Bảng xét dấu tam thức bậc hai, công cụ hữu ích để xác định dấu của tam thức trên các khoảng giá trị của x.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Tìm m để bất phương trình (m+2)x² - 4x + m - 2 > 0 nghiệm đúng với mọi x.
Bài 2: Tìm m để phương trình x² - mx + m = 0 có hai nghiệm phân biệt dương.
Bài 3: Cho hàm số y = (m-1)x² + 2mx + m + 1. Tìm m để hàm số này luôn nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Lời giải gợi ý:
Để giải các bài tập này, bạn cần kết hợp kiến thức về điều kiện tam thức bậc hai luôn dương (hoặc âm), cách xét dấu tam thức, và các kỹ năng biến đổi đại số.
Kết Luận
Hiểu rõ điều kiện để một tam thức bậc hai luôn dương với mọi x là rất quan trọng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam thức bậc hai và ứng dụng của nó. Nắm vững lý thuyết, thực hành nhiều bài tập, bạn sẽ tự tin chinh phục các bài toán khó. Chúc bạn thành công!
