Tam thức bậc hai đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến bất đẳng thức và xét dấu. Vậy, Tam Thức Bậc 2 Nhận Giá Trị Dương Khi Nào? Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về điều kiện để tam thức bậc hai dương, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
1. Khái niệm Tam Thức Bậc Hai
Tam thức bậc hai (với biến x) là biểu thức có dạng: ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các hệ số đã cho và a ≠ 0.
Ví dụ:
f(x) = x² - 4x + 5là một tam thức bậc hai.f(x) = x²(2x - 7)không phải là tam thức bậc hai (vì có bậc 3).
Nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 là nghiệm của tam thức bậc hai. Biệt thức Δ = b² - 4ac đóng vai trò quan trọng trong việc xác định dấu của tam thức.
Alt: Đồ thị minh họa tam thức bậc hai ax bình phương cộng bx cộng c, thể hiện hệ số a,b,c ảnh hưởng đến hình dạng parabol
2. Điều Kiện Để Tam Thức Bậc Hai Dương
Tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c nhận giá trị dương với mọi x ∈ R khi và chỉ khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Hệ số a > 0: Điều này đảm bảo rằng parabol có bề lõm hướng lên trên.
- Biệt thức Δ < 0: Điều này đảm bảo rằng phương trình
ax² + bx + c = 0vô nghiệm, tức là đồ thị không cắt trục hoành.
Khi đó, toàn bộ đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c nằm phía trên trục hoành, nghĩa là f(x) > 0 với mọi x.
3. Các Trường Hợp Khác Liên Quan Đến Dấu Của Tam Thức
Ngoài trường hợp tam thức luôn dương, ta cần xét thêm các trường hợp khác:
f(x) ≥ 0với mọix ∈ R: Khi đó,a > 0vàΔ ≤ 0. Lúc này, đồ thị có thể tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất.f(x) < 0với mọix ∈ R: Khi đó,a < 0vàΔ < 0.f(x) ≤ 0với mọix ∈ R: Khi đó,a < 0vàΔ ≤ 0.
4. Cách Xét Dấu Tam Thức Bậc Hai
Để xét dấu của một tam thức bậc hai, ta thực hiện các bước sau:
- Tính biệt thức Δ = b² – 4ac.
- Tìm nghiệm của tam thức (nếu có).
- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số
avà các nghiệm tìm được.
Bảng xét dấu tổng quát:
| Khoảng | x < x₁ | x₁ | x₁ < x < x₂ | x₂ | x > x₂ |
|---|---|---|---|---|---|
f(x) = ax² + bx + c |
Cùng dấu a | 0 | Trái dấu a | 0 | Cùng dấu a |
Trong đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ax² + bx + c = 0.
Alt: Bảng biến thiên tam thức bậc hai với delta dương, minh họa quy tắc trong trái dấu với a, ngoài cùng dấu với a
5. Bài Tập Vận Dụng
Ví dụ 1: Tìm m để f(x) = x² - 2mx + m + 2 > 0 với mọi x ∈ R.
Giải:
Để f(x) > 0 với mọi x, ta cần:
a = 1 > 0(luôn đúng)Δ' = m² - (m + 2) < 0<=>m² - m - 2 < 0<=>(m + 1)(m - 2) < 0<=>-1 < m < 2.
Vậy, f(x) > 0 với mọi x khi -1 < m < 2.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình x² - 5x + 6 > 0.
Giải:
Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 1 > 0- Phương trình
x² - 5x + 6 = 0có hai nghiệm phân biệtx₁ = 2vàx₂ = 3. - Vì
a = 1 > 0, ta có bảng xét dấu:
| Khoảng | x < 2 | 2 | 2 < x < 3 | 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|---|---|
x² - 5x + 6 |
+ | 0 | – | 0 | + |
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 3.
Alt: Bảng xét dấu cho tam thức -3x bình phương cộng 7x trừ 4, nghiệm x thuộc âm vô cực đến 1 hợp với 4/3 đến dương vô cực
6. Ứng Dụng Thực Tế
Việc xét dấu tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
- Tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số.
- Giải các bài toán liên quan đến khoảng giá trị: Xác định khoảng giá trị của một biến để một điều kiện nào đó được thỏa mãn.
- Phân tích kỹ thuật: Trong lĩnh vực tài chính, có thể sử dụng để phân tích xu hướng giá cổ phiếu.
7. Bài Tập Tự Luyện
- Tìm
mđể bất phương trình(m - 1)x² + 2(m + 1)x + 3m - 2 > 0nghiệm đúng với mọix. - Giải các bất phương trình sau:
2x² - 3x - 2 ≤ 0(x - 1)(x² + x + 1) > 0
Lời khuyên: Để nắm vững kiến thức về tam thức bậc hai, bạn nên luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và chi tiết về điều kiện để tam thức bậc hai nhận giá trị dương, cũng như các ứng dụng và bài tập liên quan. Chúc bạn học tốt!
