Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian, đặc biệt là xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, chúng ta cần nắm vững phương pháp và các ví dụ minh họa. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chi tiết về chủ đề này.
Phương Pháp Xác Định Tâm Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện
Khi nói đến mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, tâm I của mặt cầu này có một tính chất quan trọng: nó cách đều tất cả các đỉnh của tứ diện. Điều này có nghĩa là IA = IB = IC = ID. Dựa vào tính chất này, ta có thể tìm ra tọa độ của tâm I.
Gọi I(x; y; z) là Tâm Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện ABCD. Điều kiện IA = IB = IC = ID dẫn đến hệ phương trình với ẩn là x, y, z. Giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được tọa độ của tâm I.
Các bước thực hiện:
- Xác định tọa độ các đỉnh: Xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D.
- Gọi tọa độ tâm I: Giả sử tâm I có tọa độ (x; y; z).
- Lập hệ phương trình: Sử dụng điều kiện IA = IB = IC = ID để lập hệ phương trình. Thông thường, ta sẽ sử dụng IA² = IB², IA² = IC², IA² = ID² để đơn giản hóa phép tính.
- Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình để tìm ra tọa độ x, y, z của tâm I.
- Tính bán kính: Tính bán kính R của mặt cầu bằng cách tính khoảng cách từ tâm I đến một trong các đỉnh của tứ diện (ví dụ: R = IA).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Lời giải:
Gọi I(x; y; z) là tâm của mặt cầu. Ta có IA = IB = IC = ID.
Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được I(2; -1; 3). Bán kính mặt cầu là R² = IA² = 17.
Vậy, phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 17.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1; 2; -4); B(1; -3; 1), C(2; 2; 3), D(1; 0; 4).
Lời giải:
Cách 1: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm. Theo giả thiết: IA = IB = IC = ID
Do đó I(-2; 1; 0) và R² = IA² = 26. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 2)² + (y – 1)² + z² = 26.
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).
Do mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên tọa độ của 4 điểm thỏa mãn phương trình mặt cầu
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x² + y² + z² + 4x – 2y – 21 = 0.
Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử sức với các bài tập sau:
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 1; 0), B(1; 0; 2), C(2; 0; 1), D(-1; 0; -3). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm M(1;1;0), N(0;2;1), P(1;0;2), Q(1;1;1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ.
- Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ giác SABC biết S(2; -1; 6), A(-3; -1; -4), B(5; -1; 0), C(1; 2; 1).
- Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(3; 4; 0), B(2; 5; 4), C(-1; 1; 1), D(3; 5; 3). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
- Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0;-1); B(1; 2; 1); C(3; 2;-1); D(2;1; 2−1).
- Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện.
- Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Kết Luận
Việc xác định tâm và viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là một bài toán quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 12. Nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán này một cách dễ dàng và chính xác.