Đường tròn nội tiếp tam giác là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất liên quan đến Tâm đường Tròn Nội Tiếp, cùng với các ví dụ minh họa để bạn đọc hiểu rõ hơn về khái niệm này.
Định nghĩa:
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Nói cách khác, tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn này.
Trong hình vẽ trên, nếu gọi tâm đường tròn là O, khi đó các đoạn thẳng OE, OF, OG lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB và có độ dài bằng nhau. Độ dài chung này chính là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Tính chất quan trọng của tâm đường tròn nội tiếp:
-
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Đây là một trong những tính chất then chốt để xác định vị trí tâm đường tròn nội tiếp.
-
Trong trường hợp tam giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều có cạnh dài 6cm. Hãy xác định tâm và tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác này.
Hướng dẫn giải:
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và AB. Vì tam giác ABC đều, đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực. Gọi O là giao điểm của AD và CE, khi đó O chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Do CE là đường trung tuyến, áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AEC, ta có:
AE² + AC² = CE² => CE = √(AC² – AE²) = √(6² – 3²) = √(36-9) = √27 = 3√3 cm
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC (do tam giác đều nên trọng tâm trùng với tâm đường tròn nội tiếp):
OE = (1/3)CE = (1/3) * 3√3 = √3 cm
Vậy, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính của đường tròn là √3 cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = 2cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC?
Hướng dẫn giải:
Kẻ AD và CO lần lượt là các đường phân giác của góc A và góc C. Gọi O là giao điểm của AD và CO, khi đó O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kẻ OE vuông góc với AC tại E.
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:
BC² = AB² + AC² => BC = √(AB² + AC²) = √(2² + 2²) = √8 = 2√2 cm
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AD cũng là đường trung tuyến và đường cao. Xét tam giác ODC và tam giác OEC, ta có:
OD = OE (cùng là bán kính đường tròn nội tiếp)
OC chung
=> Tam giác ODC = Tam giác OEC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> DC = EC
Vì AD là đường phân giác của góc A nên góc CAD = 45 độ. Tam giác OEA vuông tại E có góc EAO = 45 độ nên tam giác OEA vuông cân tại E.
OE = AE = x
AC = AE + EC = x + EC = 2
Do đó EC = 2 – x
Mặt khác, DC = (1/2)BC = (1/2) * 2√2 = √2
Vậy, √2 = 2 – x => x = 2 – √2
Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là điểm O (giao điểm của hai đường phân giác) và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2 – √2 cm.
Thông qua các ví dụ trên, ta thấy việc xác định tâm đường tròn nội tiếp và tính bán kính của nó có thể được thực hiện dễ dàng khi nắm vững các tính chất và định lý liên quan. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đọc những kiến thức hữu ích về “tâm đường tròn nội tiếp” trong hình học.
