Số thực là một khái niệm toán học cơ bản và quan trọng. Vậy chính xác thì số thực là gì? Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về số thực, bao gồm định nghĩa, ví dụ, tính chất và các phép toán liên quan, giúp bạn hiểu rõ hơn về loại số này.
1. Định Nghĩa Số Thực
Số thực là tập hợp bao gồm tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ. Nói cách khác, số thực là bất kỳ số nào có thể biểu diễn trên trục số thực.
- Số hữu tỉ: Là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b khác 0. Ví dụ: 1/2, -3/4, 5.
- Số vô tỉ: Là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ví dụ: √2, π (pi), e.
Số hữu tỉ có thể biểu diễn chính xác trên trục số, ví dụ phân số 1/2.
Tập hợp số thực được ký hiệu là ℝ. Tập số thực lấp đầy trục số, nghĩa là mỗi điểm trên trục số đều tương ứng với một số thực và ngược lại.
2. Trục Số Thực
Trục số thực là một đường thẳng mà trên đó mỗi điểm biểu diễn một số thực. Điểm gốc (thường là 0) chia trục số thành hai phần:
- Phần bên phải điểm gốc biểu diễn các số thực dương.
- Phần bên trái điểm gốc biểu diễn các số thực âm.
Mỗi số thực đều có một vị trí duy nhất trên trục số thực. Điều này cho phép chúng ta so sánh và sắp xếp các số thực một cách dễ dàng.
3. So Sánh Số Thực
Để so sánh hai số thực x và y, ta có ba khả năng:
- x = y (x bằng y)
- x > y (x lớn hơn y)
- x < y (x nhỏ hơn y)
Các số thực lớn hơn 0 được gọi là số thực dương, và các số thực nhỏ hơn 0 được gọi là số thực âm. Số 0 không phải là số thực dương cũng không phải là số thực âm.
Ví dụ: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: -3.2, 1, 7.4, 0, -1.5
Giải: -3.2 < -1.5 < 0 < 1 < 7.4
4. Tính Chất Của Tập Số Thực
Tập số thực ℝ có nhiều tính chất quan trọng, bao gồm:
- Tính đầy đủ: Tập số thực không có “lỗ hổng”, nghĩa là mọi dãy Cauchy trong ℝ đều hội tụ về một giới hạn trong ℝ.
- Tính liên tục: Trục số thực là một đường thẳng liên tục, không có điểm nào bị bỏ qua.
- Tính sắp thứ tự: Các số thực có thể được sắp xếp theo thứ tự lớn bé.
Ngoài ra, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia (cho số khác 0), lũy thừa và khai căn đều được định nghĩa trên tập số thực và tuân theo các tính chất như tính giao hoán, kết hợp và phân phối.
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: (1/12 – 0.75) : (4 2/3 + 3.5)
Giải: (1/12 – 0.75) : (4 2/3 + 3.5) = (-8/12) : (49/6) = -4/49
5. Giá Trị Tuyệt Đối Của Số Thực
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là |a|, là khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số thực.
- Nếu a ≥ 0, thì |a| = a
- Nếu a < 0, thì |a| = -a
Ví dụ:
- |5| = 5
- |-3| = 3
- |0| = 0
Giá trị tuyệt đối luôn là một số không âm.
Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ số đó đến 0 trên trục số.
Tính chất của giá trị tuyệt đối:
- |a| ≥ 0 với mọi a ∈ ℝ
- |a| = 0 khi và chỉ khi a = 0
- |a b| = |a| |b|
- |a / b| = |a| / |b| (với b ≠ 0)
- |a + b| ≤ |a| + |b| (bất đẳng thức tam giác)
6. Ví Dụ Minh Họa Về Số Thực
Ví dụ 1: Xác định các số sau thuộc tập nào: 3, -2.53, 0.2(35), √2, π
Giải:
- 3 ∈ ℚ, 3 ∈ ℝ
- -2.53 ∈ ℚ, -2.53 ∈ ℝ
- 0.2(35) ∈ ℚ, 0.2(35) ∈ ℝ
- √2 ∈ I, √2 ∈ ℝ
- π ∈ I, π ∈ ℝ
Ví dụ 2: Tìm x, biết: 3.2x + (-1.2)x + 2.7 = -4.9
Giải:
- 2x + (-1.2)x + 2.7 = -4.9
- x + 2.7 = -4.9
- x = -7.6
x = -3.8
7. Mối Quan Hệ Giữa Các Tập Số
Các tập số có mối quan hệ bao hàm lẫn nhau:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Trong đó:
- ℕ: Tập hợp số tự nhiên
- ℤ: Tập hợp số nguyên
- ℚ: Tập hợp số hữu tỉ
- ℝ: Tập hợp số thực
Sơ đồ Venn minh họa mối quan hệ giữa các tập hợp số.
Kết Luận
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về số thực là gì, các tính chất và ứng dụng của nó. Số thực là một khái niệm nền tảng trong toán học và có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Việc nắm vững kiến thức về số thực sẽ giúp bạn học tập và làm việc hiệu quả hơn.
