So Sánh Logarit: Phương Pháp, Ví Dụ và Bài Tập Chi Tiết

Logarit là một khái niệm quan trọng trong toán học, xuất hiện nhiều trong các bài toán và ứng dụng thực tế. Việc so sánh các biểu thức chứa logarit đòi hỏi nắm vững định nghĩa, tính chất và các phép biến đổi logarit. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn đọc có thể tự tin giải quyết các bài toán So Sánh Logarit.

1. Phương pháp so sánh logarit

Để so sánh hai biểu thức logarit, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

• Đưa về cùng cơ số: Đây là phương pháp phổ biến nhất. Sử dụng công thức đổi cơ số để đưa các logarit về cùng một cơ số, sau đó so sánh các biểu thức dưới dấu logarit.

  • Nếu cơ số lớn hơn 1: log_ab > log_ac khi và chỉ khi b > c.
  • Nếu cơ số nhỏ hơn 1: log_ab > log_ac khi và chỉ khi b < c.

• Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm logarit:

  • Hàm logarit cơ số a > 1 là hàm đồng biến.
  • Hàm logarit cơ số 0 < a < 1 là hàm nghịch biến.

• So sánh với các giá trị đặc biệt: So sánh biểu thức logarit với 0, 1, hoặc các giá trị logarit quen thuộc khác.

• Sử dụng các phép biến đổi logarit: Áp dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia logarit để đơn giản hóa biểu thức trước khi so sánh.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: So sánh các số sau với 1: 3^log₃4, 3^2log₃2,

Lời giải:

• 3^log₃4 = 4 > 1
• 3^2log₃2 = 3^log₃22 = 3^log₃4 = 4 > 1

Ví dụ 2: Trong các số sau, số nào lớn nhất?

Lời giải:

Đưa về cùng cơ số và so sánh:

Ta thấy:

Vậy log₂3 là lớn nhất.

Ví dụ 3: Cho hai số thực a, b với 1 < a < b. So sánh log_ab và log_ba.

Lời giải:

Vì 1 < a < b nên log_ab > log_aa = 1 và log_ba < log_bb = 1.

Vậy log_ab > log_ba.

Ví dụ 4: Cho hai số thực a, b với 1 < a < b. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Lời giải:

Ta xét các phương án:

• a > b > 1 => lna > lnb > 0
• Do a > b > 1 nên: 1 > (log_ab)² => log_ab . log_ba > (log_ab)² => log_ba > log_ab (khẳng định B đúng)

Vậy, phương án A sai.

3. Bài tập tự luyện

1. So sánh: log_1/25 và log_1/23.
2. Cho a, b là hai số thực dương khác 1. So sánh log_ab và log_ba trong trường hợp 0 < a < 1 < b.
3. So sánh: log₂3 và log₃4.
4. Không dùng máy tính, hãy so sánh: log_π(log_0.10.2) và log_π(log_0.10.3).
5. Cho hai số thực a, b với 1 < a < b. So sánh a^log_ab với b^log_ba.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn đọc sẽ nắm vững phương pháp so sánh logarit và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các bạn thành công!