Trong chương trình Toán lớp 11, khái niệm “Số Phần Tử Của Không Gian Mẫu” đóng vai trò then chốt trong việc giải các bài toán xác suất. Hiểu rõ và vận dụng thành thạo kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin chinh phục mọi dạng bài. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan, đi kèm các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
A. Phương Pháp Xác Định Số Phần Tử của Không Gian Mẫu
Để tính số phần tử của không gian mẫu (ký hiệu là n(Ω)), chúng ta thường sử dụng hai phương pháp chính:
-
Phương pháp 1: Liệt kê
Liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Phương pháp này phù hợp với các phép thử có số lượng kết quả nhỏ.
-
Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc đếm
Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản như quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để tính số phần tử của không gian mẫu. Phương pháp này hiệu quả với các phép thử có số lượng kết quả lớn và khó liệt kê trực tiếp.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, và 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của không gian mẫu.
Giải:
Không gian mẫu ở đây là tập hợp tất cả các cách chọn 4 viên bi từ tổng số 24 viên bi. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là số tổ hợp chập 4 của 24, ký hiệu là C(4, 24).
Alt: Minh họa cách tính số phần tử không gian mẫu khi chọn 4 viên bi từ 24 viên
Sử dụng công thức tổ hợp, ta có:
n(Ω) = C(4, 24) = 24! / (4! * 20!) = 10,626
Vậy, số phần tử của không gian mẫu là 10,626.
Bài 2: Xét phép thử tung một đồng xu 3 lần liên tiếp. Hãy xác định số phần tử của không gian mẫu.
Giải:
Mỗi lần tung đồng xu, ta có 2 khả năng: mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N). Vì vậy, sau 3 lần tung, số phần tử của không gian mẫu là:
n(Ω) = 2 2 2 = 8
Không gian mẫu có thể được liệt kê như sau: {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}
Bài 3: Gieo một con xúc xắc 6 mặt hai lần. Tính số phần tử của không gian mẫu.
Giải:
Lần gieo thứ nhất có 6 khả năng xảy ra (1 đến 6). Lần gieo thứ hai cũng có 6 khả năng xảy ra. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là:
n(Ω) = 6 * 6 = 36
Không gian mẫu bao gồm các cặp (i, j) với i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
B. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Tính số phần tử của không gian mẫu.
Giải:
Đây là bài toán chọn 3 học sinh bất kỳ từ tổng số 35 học sinh. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là số tổ hợp chập 3 của 35.
Alt: Hình ảnh công thức tổ hợp, áp dụng cho bài toán chọn học sinh
n(Ω) = C(3, 35) = 35! / (3! * 32!) = 6,545
Bài 2: Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của không gian mẫu.
Giải:
Tương tự bài trên, đây là bài toán chọn 5 tấm thẻ từ 100 tấm. Số phần tử của không gian mẫu là số tổ hợp chập 5 của 100.
Alt: Minh họa số cách chọn 5 thẻ từ 100 thẻ
n(Ω) = C(5, 100) = 100! / (5! * 95!) = 75,287,520
Bài 3: Một người có 5 áo khác nhau và 3 quần khác nhau. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?
Giải:
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một bộ quần áo là tích số cách chọn áo và số cách chọn quần.
n(Ω) = 5 * 3 = 15
Bài 4: Gieo một đồng xu và một con xúc xắc. Tính số phần tử của không gian mẫu.
Giải:
Đồng xu có 2 khả năng (S hoặc N), xúc xắc có 6 khả năng (1 đến 6). Vậy số phần tử của không gian mẫu là:
n(Ω) = 2 * 6 = 12
Kết luận:
Nắm vững cách xác định số phần tử của không gian mẫu là bước quan trọng để giải các bài toán xác suất. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp (liệt kê hoặc sử dụng quy tắc đếm) phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Luyện tập thường xuyên với các ví dụ và bài tập vận dụng sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán xác suất phức tạp.
