Để giải bài toán đếm Số Hình Chữ Nhật Trong đa Giác đều, ta cần nắm vững các kiến thức về hình học và tổ hợp. Dưới đây là phương pháp tiếp cận và ví dụ minh họa.
Phương Pháp Giải
- Xác định hình chữ nhật: Nhận thấy rằng các hình chữ nhật nội tiếp trong đa giác đều thường có các đỉnh là đỉnh của đa giác và có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó.
- Đếm số đường kính: Nếu đa giác đều có số đỉnh chẵn (2n), ta có n đường kính đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp.
- Chọn đường kính: Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ việc chọn 2 trong n đường kính này. Do đó, số hình chữ nhật là tổ hợp chập 2 của n, ký hiệu là
C(n, 2)hoặc (C_n^2).
Hình ảnh minh họa đa giác đều có các đường kính đi qua tâm, mỗi cặp đường kính tạo thành một hình chữ nhật. Phân tích này giúp hình dung cách đếm số hình chữ nhật có thể tạo thành.
Ví Dụ Minh Họa
Xét một đa giác đều có 16 đỉnh (n = 8). Theo công thức trên, số hình chữ nhật có thể tạo thành là:
(C_8^2 = frac{{8!}}{{2!(8 – 2)!}} = frac{{8!}}{{2!6!}} = frac{{8 times 7}}{{2 times 1}} = 28)
Vậy, có 28 hình chữ nhật có thể tạo thành từ 16 đỉnh của đa giác đều.
Bài Tập Tổng Quát và Giải Chi Tiết
Đề bài: Cho một đa giác đều có 2n đỉnh (với n ≥ 2, n ∈ N). Tìm n biết rằng số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác gấp 20 lần số hình chữ nhật có thể tạo thành từ các đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật trong trường hợp này.
Giải:
Số hình chữ nhật tạo thành là (C_n^2). Số tam giác tạo thành từ 2n đỉnh là (C_{2n}^3).
Theo đề bài, ta có phương trình:
(C_{2n}^3 = 20C_n^2)
Giải phương trình:
(begin{array}{l}
;;;;C_{2n}^3 = 20C_n^2 Leftrightarrow frac{{(2n)!}}{{3!left( {2n – 3} right)!}} = 20frac{{n!}}{{2!left( {n – 2} right)!}}\
Leftrightarrow frac{{2nleft( {2n – 1} right)left( {2n – 2} right)left( {2n – 3} right)!}}{{6left( {2n – 3} right)!}} = frac{{20nleft( {n – 1} right)left( {n – 2} right)!}}{{2left( {n – 2} right)!}}\
Leftrightarrow frac{{n(2n – 1)(2n – 2)}}{3} = 10nleft( {n – 1} right)\
Leftrightarrow frac{{2n(2n – 1)(n – 1)}}{3} = 10n(n – 1)
end{array})
Chia cả hai vế cho n(n-1) (vì n ≥ 2, nên n(n-1) ≠ 0):
(begin{array}{l}
Leftrightarrow frac{{2(2n – 1)}}{3} = 10 \
Leftrightarrow 4n – 2 = 30 \
Leftrightarrow 4n = 32 \
Leftrightarrow n = 8
end{array})
Điều kiện: (n ge 2,;n in N.)
Vậy n = 8 thỏa mãn.
Số hình chữ nhật tạo thành là:
(C_8^2 = frac{{8!}}{{2!(8 – 2)!}} = frac{{8 times 7}}{{2}} = 28)
Minh họa cách tạo hình chữ nhật từ các đường kính của đa giác đều 8 cạnh. Ảnh thể hiện rõ mối liên hệ giữa đường kính và hình chữ nhật.
Kết luận:
Với đa giác đều có 16 đỉnh, số hình chữ nhật có thể tạo thành là 28. Bài toán này giúp củng cố kiến thức về tổ hợp và ứng dụng trong hình học.
