Số Hạng Tổng Quát Của Nhị Thức Newton: Công Thức, Ví Dụ và Bài Tập

Công thức nhị thức Newton là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt quan trọng khi làm việc với các bài toán đại số và tổ hợp. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về công thức này, tập trung vào Số Hạng Tổng Quát Của Nhị Thức Newton, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.

1. Công thức Nhị Thức Newton

Công thức nhị thức Newton cho phép khai triển biểu thức (a + b)ⁿ, với n là một số nguyên dương. Công thức này được biểu diễn như sau:

(a+b)ⁿ=∑_k=0ⁿC_n^k a^n-k b^k = C_n⁰ aⁿ + C_n¹ a^n-1 b + … + C_n^k a^n-k b^k + … + C_nⁿ bⁿ

Trong đó:

• a và b là các số thực hoặc biểu thức đại số.
• n là một số nguyên dương.
• C_n^k là tổ hợp chập k của n, được tính bằng công thức: C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)
• Quy ước a⁰ = b⁰ = 1.

Alt: Biểu thức toán học thể hiện công thức khai triển nhị thức Newton tổng quát, nhấn mạnh vào ký hiệu sigma và các thành phần tổ hợp.

Số hạng tổng quát đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến nhị thức Newton.

2. Số Hạng Tổng Quát của Nhị Thức Newton

Số hạng tổng quát thứ (k+1) trong khai triển nhị thức Newton là:

T_k+1 = C_n^k a^n-k b^k

Công thức này cho phép ta xác định một cách trực tiếp bất kỳ số hạng nào trong khai triển mà không cần phải tính toán toàn bộ khai triển. Điều này đặc biệt hữu ích khi bài toán chỉ yêu cầu tìm một số hạng cụ thể chứa x^m hoặc một hệ số nào đó.

Ví dụ: Tìm số hạng thứ 3 trong khai triển (x + 2)⁵.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát với k = 2 (vì ta cần tìm số hạng thứ 3, tức k+1 = 3), n = 5, a = x, và b = 2, ta có:

T₃ = C₅² x^5-2 2² = 10 x³ 4 = 40x³

Vậy, số hạng thứ 3 trong khai triển là 40x³.

3. Các Dạng Khai Triển Cơ Bản

Dưới đây là một số dạng khai triển cơ bản của nhị thức Newton, thường được sử dụng trong các bài tập:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Alt: Bảng liệt kê các công thức khai triển nhị thức Newton cho các trường hợp mũ 2 và mũ 3, cả khi cộng và trừ.

4. Ví dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển (2x – 1)⁴.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát: T_k+1 = C₄^k (2x)^4-k (-1)^k

Ta cần tìm k sao cho số mũ của x là 3, tức là 4 – k = 3 => k = 1.

Vậy số hạng chứa x³ là: T₂ = C₄¹ (2x)³ (-1)¹ = 4 8x³ (-1) = -32x³.

Ví dụ 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x² trong khai triển (x – 1/x)⁶.

Số hạng tổng quát: T_k+1 = C₆^k x^6-k (-1/x)^k = C₆^k (-1)^k x^6-2k

Ta cần 6 – 2k = 2 => k = 2.

Vậy hệ số của số hạng chứa x² là: C₆² (-1)² = 15.

Ví dụ 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x² + 1/x)⁹.

Số hạng tổng quát: T_k+1 = C₉^k (x²)^9-k (1/x)^k = C₉^k x^18-3k

Ta cần 18 – 3k = 0 => k = 6.

Vậy số hạng không chứa x là: T₇ = C₉⁶ = 84.

5. Bài Tập Tự Luyện

1. Khai triển (3x + 2)⁵.
2. Tìm số hạng chứa x⁵ trong khai triển (x² – 3)⁴.
3. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁴ trong khai triển (2x + 1/x)⁶.
4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x³ – 2/x)⁸.
5. Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 + x – x²)⁴.

Ví dụ 7. Tìm các số nguyên a, b biết (√4-√3)⁵-(√4+√3)⁵=a+b√3.

Alt: Các bước giải chi tiết cho việc tìm a và b trong biểu thức chứa căn bậc hai, sử dụng khai triển nhị thức.

Lời Kết

Nắm vững công thức và cách sử dụng số hạng tổng quát của nhị thức Newton là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến khai triển nhị thức. Hãy luyện tập thường xuyên với các ví dụ và bài tập để nâng cao kỹ năng của bạn. Chúc bạn thành công!