A. Định Nghĩa và Lý Thuyết Cơ Bản
1. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là gì?
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn. Một cạnh của góc là một tia tiếp tuyến của đường tròn tại đỉnh đó, và cạnh còn lại chứa một dây cung của đường tròn, xuất phát từ cùng đỉnh.
Ảnh minh họa góc BAx tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB, với đỉnh A nằm trên đường tròn.
2. Cung bị chắn
Cung nằm bên trong góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung được gọi là cung bị chắn.
Hình ảnh minh họa: Cung AmB nằm bên trong góc BAx là cung bị chắn.
3. Định lý quan trọng: Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Định lý: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. Đây là kiến thức then chốt, cần nắm vững để giải các bài tập liên quan.
Góc BAx tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng 1/2 số đo cung AB.
B. Hệ Quả và Ứng Dụng
1. Hệ quả 1: Liên hệ với góc nội tiếp
Trong một đường tròn, nếu góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung, thì hai góc đó bằng nhau. Điều này rất hữu ích khi giải các bài toán chứng minh.
2. Hệ quả 2 (Định lý bổ sung): Nhận biết tiếp tuyến
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó, và cung này nằm bên trong góc đó, thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn. Đây là một công cụ mạnh để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
C. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Tiếp tuyến tại A cắt đường kính BC của đường tròn tại S. Biết góc ASC = 30 độ. Tính AC theo R.
Lời giải:
Ta có các bước giải như hình trên.
Từ đó tính ra AC theo R.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) và điểm I nằm ngoài đường tròn sao cho OI = 2R. Điểm C nằm trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến AI của đường tròn, gọi B là giao điểm của OI và (O) (B nằm giữa O và I). Tính góc BIC.
Lời giải:
Áp dụng các kiến thức về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, ta có:
D. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn, từ M vẽ cát tuyến MAB đến đường tròn. C là điểm trên đường tròn khác A và B. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) khi và chỉ khi MC² = MA.MB.
Lời giải:
Lời giải chi tiết phần thuận.
Lời giải chi tiết phần đảo.
Câu 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt (O) tại C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt (O’) tại D. Chứng minh AB² = BD.BC.
Lời giải:
Chứng minh các tam giác đồng dạng.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
