Trong khoa học và kỹ thuật, việc đo lường và tính toán không thể tránh khỏi sai số. Để đánh giá mức độ tin cậy của một phép đo, chúng ta sử dụng khái niệm Sai Số Tương đối Là một công cụ quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về công thức tính sai số tương đối, cùng với ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Công Thức Tính Sai Số Tương Đối
1. Sai Số Tuyệt Đối:
Nếu a là giá trị gần đúng của giá trị thực ā, thì sai số tuyệt đối (Δa) được định nghĩa là:
Δa = |ā – a|
Trong thực tế, chúng ta thường không biết giá trị thực ā, do đó không thể tính chính xác Δa. Thay vào đó, ta tìm cách ước lượng Δa sao cho nó không vượt quá một giá trị d cho trước:
Δa = |ā – a| ≤ d hay a – d ≤ ā ≤ a + d
2. Sai Số Tương Đối:
Sai số tương đối là tỉ lệ giữa sai số tuyệt đối (Δa) và giá trị tuyệt đối của số gần đúng a. Nó được ký hiệu là δa và tính theo công thức:
δa = Δa / |a|
Sai số tương đối thường được biểu diễn dưới dạng phần trăm (%).
3. Độ Chính Xác:
Nếu a là giá trị gần đúng của giá trị thực ā và Δa = |ā – a| ≤ d, thì a được gọi là giá trị gần đúng của ā với độ chính xác d. Ta viết gọn là:
ā = a ± d
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1:
Diện tích hình tròn bán kính r = 12 cm được tính gần đúng là S ≈ 3,145 . 12² ≈ 452,88 cm². Biết rằng 3,14 < π < 3,15. Hãy xác định độ chính xác của phép tính này.
Hướng dẫn giải:
Gọi S là diện tích thực của hình tròn. Ta có:
3,14 . 12² < S < 3,15 . 12²
Hay 452,16 < S < 453,6
Suy ra 452,16 – 452,88 < S – S < 453,6 – 452,88
⇒ |S – S| < 0,72
Vậy kết quả có độ chính xác là 0,72, hay diện tích của hình tròn là 452,88 ± 0,72 (cm²).
Ví dụ 2:
Tính sai số tương đối là bao nhiêu trong phép tính diện tích hình tròn ở ví dụ 1?
Hướng dẫn giải:
Từ ví dụ 1, ta có ΔS ≤ d = 0,72.
Vậy sai số tương đối là:
δS = ΔS / S ≤ d / S = 0,72 / 452,88 ≈ 0,0016 = 0,16%
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC có kích thước AB = 4 ± 0,1 cm, BC = 7 ± 0,1 cm, AC = 8 ± 0,2 cm. Ước lượng sai số tương đối là bao nhiêu khi tính chu vi tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Chu vi tam giác P = AB + BC + CA = 4 + 7 + 8 = 19 cm.
Gọi P̄ là chu vi tam giác thực. Theo đề bài, ta có:
3,9 + 6,9 + 7,8 < P̄ < 4,1 + 7,1 + 8,2
Hay 18,6 < P̄ < 19,4
Suy ra |P̄ – P| < 0,4
Suy ra ΔP = 0,4
Vậy sai số tương đối là:
δP = ΔP / P = 0,4 / 19 ≈ 0,021 = 2,1%
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Một tấm khăn trải bàn hình tròn có bán kính R = 40 cm. Tính sai số tương đối là bao nhiêu trong phép tính diện tích tấm khăn S = π.r² ≈ 3,145 . 40² ≈ 5032 cm², biết rằng 3,14 < π < 3,15.
Bài 2. Cho tam giác ABC có Â = 85°, AB = 15 cm và AC = 7 cm. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối và sai số tương đối là bao nhiêu của độ dài cạnh BC biết cos85° ≈ 0,085 với 0,082 < cos85° < 0,088.
Bài 3. Cho tam giác ABC có a = 4,5 ± 0,02, b = 5 và C = 30°. Hãy ước lượng sai số tương đối là bao nhiêu của diện tích tam giác ABC.
Bài 4. Một tấm vải hình chữ nhật có kích thước 2 × 3 (± 0,02 m). Hãy xác định sai số tuyệt đối và sai số tương đối là bao nhiêu của diện tích tấm vải.
Bài 5. Một ống nước có đường kính d = 2 ± 0,05 cm, chiều dài h = 300 ± 0,2 cm. Tính thể tích khối nước trong ống và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải với π = 3,14 ± 0,0015.
Ứng Dụng Của Sai Số Tương Đối
Hiểu rõ về sai số tương đối là rất quan trọng vì nó giúp:
- Đánh giá độ tin cậy của các phép đo.
- So sánh độ chính xác giữa các phương pháp đo khác nhau.
- Ước lượng ảnh hưởng của sai số đến kết quả cuối cùng trong các tính toán phức tạp.
- Quyết định xem một phép đo có đủ chính xác cho một ứng dụng cụ thể hay không.
Kết Luận
Sai số tương đối là một công cụ không thể thiếu trong việc đánh giá và kiểm soát độ chính xác của các phép đo và tính toán. Việc nắm vững công thức và ứng dụng của nó sẽ giúp bạn đưa ra những quyết định chính xác hơn trong công việc và học tập. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về sai số tương đối là gì và cách sử dụng nó một cách hiệu quả.