Rút gọn biểu thức là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán THCS, đặc biệt là trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập rút gọn thường gặp, phương pháp giải chi tiết và bài tập áp dụng để các em học sinh có thể tự tin chinh phục dạng toán này.
Các Dạng Bài Tập Rút Gọn Biểu Thức Thường Gặp
Dạng 1: Tìm Điều Kiện Xác Định (ĐKXĐ) Của Biểu Thức
Đây là bước quan trọng đầu tiên trước khi tiến hành rút gọn.
Phương pháp:
- Xác định các điều kiện để biểu thức có nghĩa:
- Biểu thức dưới căn bậc hai phải không âm:
√A xác định ⇔ A ≥ 0 - Mẫu số phải khác 0:
A/B xác định ⇔ B ≠ 0 - Biểu thức dưới căn ở mẫu phải dương:
A/√B xác định ⇔ B > 0
- Biểu thức dưới căn bậc hai phải không âm:
- Giải các điều kiện và kết hợp chúng lại.
- Kết luận về ĐKXĐ của biểu thức.
Ví dụ: Tìm ĐKXĐ của biểu thức:
Giải:
Điều kiện: x - 1 ≠ 0 và x ≥ 0
Giải ra ta được: x ≠ 1 và x ≥ 0
Vậy ĐKXĐ của P là x ≥ 0 và x ≠ 1.
Dạng 2: Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai, Phân Thức Đại Số
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của biểu thức (nếu chưa có).
- Phân tích các tử và mẫu thành nhân tử (sử dụng hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử,…)
- Quy đồng mẫu thức (nếu có nhiều phân thức).
- Rút gọn các nhân tử chung ở tử và mẫu.
- Kết luận.
Các hằng đẳng thức thường dùng:
(A + B)² = A² + 2AB + B²(A - B)² = A² - 2AB + B²A² - B² = (A - B)(A + B)(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
với x > 0, x ≠ 4.
Giải:
P = (x + 2√x) / (x - 4) = (√x(√x + 2)) / ((√x - 2)(√x + 2)) = √x / (√x - 2)
Vậy P = √x / (√x - 2)
Dạng 3: Tính Giá Trị Của Biểu Thức Khi Biết Giá Trị Của Biến
Phương pháp:
- Rút gọn biểu thức (nếu chưa rút gọn).
- Kiểm tra xem giá trị của biến có thỏa mãn ĐKXĐ không.
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn và tính.
Ví dụ: Cho biểu thức P = √x / (√x - 2) với x > 0, x ≠ 4. Tính giá trị của P khi x = 9.
Giải:
x = 9 thỏa mãn ĐKXĐ.
Thay x = 9 vào biểu thức, ta có: P = √9 / (√9 - 2) = 3 / (3 - 2) = 3
Vậy P = 3 khi x = 9.
Dạng 4: Tìm Giá Trị Của Biến Để Biểu Thức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của biểu thức.
- Lập phương trình hoặc bất phương trình dựa trên yêu cầu của bài toán.
- Giải phương trình hoặc bất phương trình.
- So sánh nghiệm tìm được với ĐKXĐ và kết luận.
Ví dụ: Cho P = √x / (√x - 2) với x > 0, x ≠ 4. Tìm x để P = 1.
Giải:
P = 1 ⇔ √x / (√x - 2) = 1 ⇔ √x = √x - 2 ⇔ 0 = -2 (vô lý)
Vậy không có giá trị nào của x để P = 1.
Dạng 5: Tìm Giá Trị Nguyên Của Biến Để Biểu Thức Nhận Giá Trị Nguyên
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của biểu thức.
- Biến đổi biểu thức để có dạng
P = a + b / Q(x)(a, b là số nguyên). - Lập luận để P nguyên thì
b / Q(x)phải là số nguyên, tức làQ(x)là ước của b. - Tìm các giá trị của x từ các ước của b.
- So sánh với ĐKXĐ và kết luận.
Ví dụ: Cho P = (√x + 3) / (√x + 1). Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ 0.
Ta có: P = (√x + 1 + 2) / (√x + 1) = 1 + 2 / (√x + 1)
Để P nguyên thì 2 / (√x + 1) phải nguyên, tức là √x + 1 là ước của 2.
Các ước của 2 là: 1, -1, 2, -2.
√x + 1 = 1 ⇔ √x = 0 ⇔ x = 0(thỏa mãn)√x + 1 = -1 ⇔ √x = -2(vô lý)√x + 1 = 2 ⇔ √x = 1 ⇔ x = 1(thỏa mãn)√x + 1 = -2 ⇔ √x = -3(vô lý)
Vậy x = 0 và x = 1 thì P nguyên.
Dạng 6: Chứng Minh Biểu Thức Thỏa Mãn Yêu Cầu Cho Trước
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của biểu thức.
- Rút gọn biểu thức (nếu cần).
- Sử dụng các phép biến đổi đại số, bất đẳng thức,… để chứng minh yêu cầu đề bài.
Ví dụ: Cho P = (√x) / (√x + 1) với x ≥ 0, x ≠ 1, chứng minh rằng P < 1.
Giải:
Vì x ≥ 0 nên √x ≥ 0. Do đó √x + 1 > 0.
Ta có P = (√x) / (√x + 1) < (√x + 1) / (√x + 1) = 1
Vậy P < 1.
Dạng 7: Tìm Giá Trị Lớn Nhất (GTLN), Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN) Của Biểu Thức
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của biểu thức.
- Sử dụng các phương pháp sau:
- Biến đổi về dạng bình phương:
P = a ± (biểu thức)² ≥ ahoặcP = a - (biểu thức)² ≤ a - Sử dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM): Cho hai số không âm a, b:
(a + b) / 2 ≥ √(ab) - Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
|a| + |b| ≥ |a + b|
- Biến đổi về dạng bình phương:
- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra và kết luận.
Ví dụ: Cho P = 3 / (2√x + 3). Tìm GTLN của P.
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ 0.
Vì x ≥ 0 nên √x ≥ 0 ⇔ 2√x ≥ 0 ⇔ 2√x + 3 ≥ 3 ⇔ 1 / (2√x + 3) ≤ 1/3 ⇔ 3 / (2√x + 3) ≤ 1
Vậy GTLN của P là 1, đạt được khi x = 0.
Bài Tập Áp Dụng
(Danh sách các bài tập áp dụng đã được cung cấp trong bài viết gốc)
Các em học sinh nên tự giải các bài tập này để nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Chúc các em thành công trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10!
