Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để Rút Gọn Logarit một cách hiệu quả. Chúng ta sẽ đi sâu vào các quy tắc và công thức cần thiết, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến logarit.
Phương Pháp Rút Gọn Logarit
Để rút gọn logarit thành công, bạn cần nắm vững và vận dụng linh hoạt các quy tắc sau:
- Các quy tắc tính logarit cơ bản:
log_a(b*c) = log_a(b) + log_a(c)log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c)log_a(b^c) = c*log_a(b)log_a(a) = 1log_a(1) = 0
- Công thức đổi cơ số logarit:
log_a(b) = log_c(b) / log_c(a) - Các công thức lũy thừa: Nắm vững các công thức về lũy thừa để biến đổi và đơn giản hóa biểu thức trước khi áp dụng các quy tắc logarit.
Ví Dụ Minh Họa Rút Gọn Logarit
Dưới đây là một số ví dụ điển hình về rút gọn logarit, kèm theo lời giải chi tiết để bạn dễ dàng theo dõi:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức P = 3log_9(4) + log_3(5)
Lời giải:
Ta có:
P = 3log_9(4) + log_3(5) = 3log_(3^2)(2^2) + log_3(5) = 3*(2/2)*log_3(2) + log_3(5) = 3log_3(2) + log_3(5) = log_3(2^3) + log_3(5) = log_3(8) + log_3(5) = log_3(8*5) = log_3(40)
Vậy P = log_3(40)
Ví dụ 2: Cho a > 0 và a ≠ 1. Rút gọn biểu thức P = log_a(tan(60°)) + log_a(cot(60°)) + log_(√a)(a^2)
Lời giải:
Ta có:
P = log_a(tan(60°)) + log_a(cot(60°)) + log_(√a)(a^2)
= log_a(tan(60°) * cot(60°)) + log_(a^(1/2))(a^2)
= log_a(1) + (2)/(1/2) * log_a(a)
= 0 + 4 * 1 = 4
Vậy P = 4
Ví dụ 3: Cho số a > 0 và a ≠ 1. Rút gọn biểu thức P = log_a(a^5 * b) - log_a(a^2 * b)
Lời giải:
Ta có:
P = log_a(a^5 * b) - log_a(a^2 * b)
= log_a(a^5) + log_a(b) - (log_a(a^2) + log_a(b))
= 5log_a(a) + log_a(b) - 2log_a(a) - log_a(b)
= 5 - 2 = 3
Vậy P=3
Ví dụ 4: Cho a, b > 0 và a,b ≠ 1, biểu thức P = log_(√ab)(b^3) * log_b(a^4) có giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Ta có:
P = log_(√ab)(b^3) * log_b(a^4)
= log_((ab)^(1/2))(b^3) * log_b(a^4)
= 3/(1/2) * log_(ab)(b) * 4 * log_b(a)
= 6 * log_(ab)(b) * 4 * log_b(a)
= 24 * (log_b(b) / log_b(ab)) * log_b(a)
= 24 * (1 / (log_b(a) + log_b(b))) * log_b(a)
= 24 * (log_b(a) / (log_b(a) + 1))
Nếu không có thêm thông tin về a và b, biểu thức này không thể rút gọn thêm. Tuy nhiên, nếu đề bài cho thêm điều kiện, ta có thể tiếp tục. Ví dụ nếu a=b, thì P=12.
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức A = 36^(log_6(5)) + 10^(1 - log(2)) - 3^(log_9(36))
Lời giải:
Ta có:
A = 36^(log_6(5)) + 10^(1 - log(2)) - 3^(log_9(36))
= (6^2)^(log_6(5)) + 10^1 / 10^(log(2)) - 3^(log_(3^2)(6^2))
= 6^(2log_6(5)) + 10 / 2 - 3^(2/2 * log_3(6))
= 6^(log_6(5^2)) + 5 - 3^(log_3(6))
= 5^2 + 5 - 6
= 25 + 5 - 6 = 24
Vậy A = 24
Bài Tập Tự Luyện Rút Gọn Logarit
Để củng cố kiến thức và kỹ năng rút gọn logarit, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Rút gọn biểu thức A = a^(log_a(b)) + a^(log_a(b)), với a > 0, b > 0.
Bài 2: Với mọi số thực a, b > 0 thỏa mãn a^2 + 9b^2 = 10ab thì đẳng thức nào đúng?
Bài 3: Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Bài 4: Giả sử log_(27)(5) = a; log_8(7) = b; log_2(3) = c. Hãy biểu diễn log_(12)(35) theo a, b, c.
Bài 5: Rút gọn biểu thức P = 3log_9(4) + log_3(5).
Kết Luận
Rút gọn logarit là một kỹ năng quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và cao cấp. Việc nắm vững các quy tắc, công thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách nhanh chóng và chính xác. Chúc bạn thành công!
