Hằng đẳng thức là công cụ mạnh mẽ giúp đơn giản hóa và rút gọn các biểu thức toán học phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách áp dụng chúng để giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức một cách hiệu quả.
A. Các Hằng Đẳng Thức Cần Nhớ
Để rút gọn biểu thức thành thạo, bạn cần nắm vững các hằng đẳng thức sau:
-
Bình phương của một tổng:
(A + B)² = A² + 2AB + B² -
Bình phương của một hiệu:
(A - B)² = A² - 2AB + B² -
Hiệu hai bình phương:
A² - B² = (A - B)(A + B) -
Lập phương của một tổng:
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ -
Lập phương của một hiệu:
(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³ -
Tổng hai lập phương:
A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²) -
Hiệu hai lập phương:
A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)
Lưu ý: A² + AB + B² được gọi là bình phương thiếu của tổng A + B.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức (a + 3)²
A. a² + 6a + 9
B. a² + 3a + 9
C. a² + 6a + 3
D. a² + 3a + 3
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
(a + 3)² = a² + 2 a 3 + 3² = a² + 6a + 9
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết biểu thức x² + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.
A. (x + 4)²
B. (x + 2)²
C. (x + 1)²
D. (2x + 1)²
Lời giải:
x² + 4x + 4 = x² + 2 x 2 + 2² = (x + 2)²
Chọn B.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức (2x – 3y)²
A. 4x² – 12xy + y²
B. 4x² + 12xy – 9y²
C. 4x² – 6xy + 9y²
D. 4x² – 12xy + 9y²
Lời giải:
(2x – 3y)² = (2x)² – 2 2x 3y + (3y)² = 4x² – 12xy + 9y²
Chọn D.
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức (2x – 3y)³
A. 8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³
B. 8x³ – 36x²y + 27xy² – 27y³
C. 8x³ – 54x²y + 36xy² – 27y³
D. 8x³ – 27x²y + 54xy² – 36y³
Lời giải:
(2x – 3y)³ = (2x)³ – 3 (2x)² 3y + 3 2x (3y)² – (3y)³ = 8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³
Chọn A.
C. Bài Tập Trắc Nghiệm
Câu 1: Rút gọn (5x – y)²
A. 10x² – 10xy + y²
B. 25x² – 5xy + y²
C. 25x² – 10xy + y²
D. x² + 10xy + y²
Lời giải:
(5x – y)² = (5x)² – 2 5x y + y² = 25x² – 10xy + y²
Chọn C.
Câu 2: Viết biểu thức 36x² – 24xy + 4y² dưới dạng bình phương của một hiệu.
A. (2x – 2y)²
B. (2x – 6y)²
C. (6x – 6y)²
D. (6x – 2y)²
Lời giải:
36x² – 24xy + 4y² = (6x)² – 2 6x 2y + (2y)² = (6x – 2y)²
Chọn D.
Câu 3: Đưa biểu thức sau về dạng tích 81 – 25x²
A. (3 – 5x) (3 + 5x)
B. (9 + 5x) (9 – x)
C. (9 + 5x) * (9 – 5x)
D. Đáp án khác
Lời giải:
81 – 25x² = 9² – (5x)² = (9 – 5x) * (9 + 5x)
Chọn C.
Câu 4: Tính 56 * 64.
A. 3600
B. 2880
C. 3248
D. 3584
Lời giải:
56 64 = (60 – 4) (60 + 4) = 60² – 4² = 3600 – 16 = 3584
Chọn D.
Câu 5: Viết biểu thức x³ + 6x² + 12x + 8 dưới dạng lập phương của một tổng.
A. (x + 1)³
B. (x + 2)³
C. (2x + 1)³
D. (2x + 2)³
Lời giải:
x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3 x² 2 + 3 x 2² + 2³ = (x + 2)³
Chọn B.
Câu 6: Khai triển (4x – y)³
A. 64x³ – 48x²y + 12xy² – y³
B. 64x³ – 12x²y + 48xy² – y³
C. 12x³ – 48x²y + 12xy² – y³
D. Đáp án khác
Lời giải:
(4x – y)³ = (4x)³ – 3 (4x)² y + 3 4x y² – y³ = 64x³ – 48x²y + 12xy² – y³
Chọn A.
Câu 7: Viết biểu thức x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³ dưới dạng lập phương của một hiệu.
A. (x – 2y)³
B. (2y – x)³
C. (2x – 2y)³
D. (x – 4y)³
Lời giải:
x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³ = x³ – 3 x² 2y + 3 x (2y)² – (2y)³ = (x – 2y)³
Chọn A.
Câu 8: Viết biểu thức (2x + 4) * (4x² – 8x + 16) dưới dạng tổng hai lập phương.
A. 8x³ + 32
B. 8x³ + 12
C. 8x³ + 64
D. 6x³ + 12
Lời giải:
(2x + 4) * (4x² – 8x + 16) = (2x)³ + 4³ = 8x³ + 64
Chọn C.
Câu 9: Viết biểu thức (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) dưới dạng hiệu hai lập phương
A. x³ – 8y³
B. x³ – 6y³
C. 8x³ – y³
D. 2x³ – 4y³
Lời giải:
(x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) = x³ – (2y)³ = x³ – 8y³
Chọn A.
Câu 10: Viết biểu thức sau dưới dạng hiệu của hai lập phương:
Lời giải:
Chọn C.
Câu 11: Tính:
Lời giải:
Chọn A.
Câu 12: Tính (3x + 4y) * (-3x + 4y)
A. 9x² – 16y²
B. -9x² – 16y²
C. 9x² + 16y²
D. 16y² – 9x²
Lời giải:
(3x + 4y) (-3x + 4y) = (4y + 3x) (4y – 3x) = (4y)² – (3x)² = 16y² – 9x²
Chọn D.
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Viết biểu thức 4x² + y² + 4xy + 4x + 2y + 1 dưới dạng một bình phương.
Bài 2. Viết biểu thức x⁴ + 2x² + 6x²y + 9y² + 6y + 1 dưới dạng một bình phương.
Bài 3. Viết biểu thức 27x³ + 8y³ + 36xy² + 54x²y dưới dạng một lập phương của đa thức.
Bài 4. Viết biểu thức –x³ + 3x²y² + y⁶ – 3xy⁴ dưới dạng một lập phương của đa thức.
Bài 5. Viết biểu thức 8(x³ − x)² + 4x⁴ – 2x² – 1 dưới dạng một lập phương của đa thức.
Lời khuyên: Để thành thạo kỹ năng Rút Gọn Hằng đẳng Thức, hãy làm nhiều bài tập khác nhau. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nhận diện các dạng bài tập nhanh hơn và áp dụng hằng đẳng thức một cách chính xác. Chúc bạn thành công!