Phương pháp Rút Gọn Căn Thức
Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai hiệu quả, ta cần nắm vững các bước sau:
-
Tìm điều kiện xác định: Xác định các giá trị của biến để biểu thức có nghĩa (nếu đề bài chưa cho). Điều này đặc biệt quan trọng khi biểu thức chứa phân thức hoặc căn thức ở mẫu.
-
Đưa về dạng bình phương: Biến đổi các biểu thức trong căn về dạng $A^2$, $A^3$,… để có thể đưa ra ngoài dấu căn. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ một cách linh hoạt.
-
Rút gọn: Thực hiện các phép toán rút gọn, thu gọn các số hạng đồng dạng để đạt được kết quả cuối cùng.
Lưu ý rằng việc xác định dấu của biểu thức trong căn là rất quan trọng để phá dấu giá trị tuyệt đối chính xác.
Các công thức quan trọng để rút gọn căn thức bậc hai trong chương trình Toán lớp 9.
Ví dụ Minh Họa Rút Gọn Căn Thức
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $sqrt{49a^2}$ với a > 0
b) $sqrt{16a^4} + 3a$
c) $5sqrt{25a^2} – 5a$ với a < 0
d) $sqrt{100a^2} + a$
Hướng dẫn giải:
a) $sqrt{49a^2} = sqrt{(7a)^2} = |7a| – 5a = 7a$ (vì a > 0).
b) $sqrt{16a^4} + 3a = sqrt{(4a^2)^2} + 3a = |4a^2| + 3a = 4a^2 + 3a$ (vì $4a^2 geq 0$ với mọi a).
Lời giải chi tiết cho ví dụ 1a, áp dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối để rút gọn.
c) $5sqrt{25a^2} – 5a = 5sqrt{(5a)^2} – 5a = 5|5a| – 5a = 5(-5a) – 5a = -25a – 5a = -30a$ (vì a < 0).
d) $sqrt{100a^2} + a = sqrt{(10a)^2} + a = |10a| + a$.
- Nếu a < 0 thì $|10a| = -10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = -10a + a = -9a$
- Nếu a > 0 thì $|10a| = 10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = 10a + a = 11a$.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: $A = sqrt{4 + 2sqrt{3}} + sqrt{4 – 2sqrt{3}}$
Biểu thức A cần rút gọn chứa căn bậc hai lồng trong căn bậc hai.
Hướng dẫn giải:
$A = sqrt{4 + 2sqrt{3}} + sqrt{4 – 2sqrt{3}} = sqrt{(sqrt{3} + 1)^2} + sqrt{(sqrt{3} – 1)^2} = |sqrt{3} + 1| + |sqrt{3} – 1| = sqrt{3} + 1 + sqrt{3} – 1 = 2sqrt{3}$
Phân tích biểu thức dưới dấu căn thành bình phương để loại bỏ căn.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: $B = frac{1}{2 + sqrt{3}} + frac{1}{2 – sqrt{3}}$
Mẫu số của các phân thức chứa căn thức, cần trục căn thức ở mẫu.
Hướng dẫn giải:
$B = frac{1}{2 + sqrt{3}} + frac{1}{2 – sqrt{3}} = frac{2 – sqrt{3}}{(2 + sqrt{3})(2 – sqrt{3})} + frac{2 + sqrt{3}}{(2 – sqrt{3})(2 + sqrt{3})} = frac{2 – sqrt{3} + 2 + sqrt{3}}{4 – 3} = 4$
Trục căn thức ở mẫu và cộng hai phân thức để rút gọn.
Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện Rút Gọn Căn Thức
Bài 1: Giá trị của biểu thức $sqrt{4a^2}$ với a > 0 là:
A. 4a B. -4a C. 2a D. -2a.
Đáp án: C
$sqrt{4a^2} = sqrt{(2a)^2} = |2a| = 2a$ (vì a > 0)
Lời giải thích ngắn gọn cho việc chọn đáp án C.
Bài 2: Biểu thức $sqrt{(x + 2)^2} – sqrt{x^2}$ với -2 ≤ x ≤ 0 rút gọn được:
A. 2 + 2x B. -2 – 2x C. 2x D. -2x.
Đáp án: A
$sqrt{(x + 2)^2} – sqrt{x^2} = |x+2| – |x| = (x+2) – (-x) = x + 2 + x = 2x + 2$
(Vì -2 ≤ x ≤ 0 nên x + 2 ≥ 0 và x ≤ 0)
Sử dụng điều kiện của x để phá dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 3: Biểu thức $frac{x – 1}{sqrt{(x – 1)^2}}$ (x > 1) bằng:
A. $sqrt{x-1}$ B. x + 1 C. 1 D. -1.
Đáp án: C
$frac{x – 1}{sqrt{(x – 1)^2}} = frac{x – 1}{|x – 1|} = frac{x – 1}{x – 1} = 1$ (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 nên |x – 1| = x – 1).
Chú ý điều kiện x > 1 để xác định dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối.
Bài 4: Biểu thức $sqrt{frac{a^3}{b}}.sqrt{ab}$ (a > b > 0) rút gọn được:
A. a B. b C. ab D. $a^2b^2$.
Đáp án: A
Với a > b > 0 thì a – b > 0 nên ta có:
$sqrt{frac{a^3}{b}}.sqrt{ab} = sqrt{frac{a^3}{b}.ab} = sqrt{a^4} = a^2$
Nhân các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn.
Bài 5: Với a thỏa mãn điều kiện xác định, biểu thức $frac{a – sqrt{a}}{sqrt{a} – 1}$ rút gọn được:
A. $sqrt{a}$ B. a – 1 C. $sqrt{a} – 1$ D. a
Đáp án: A
$frac{a – sqrt{a}}{sqrt{a} – 1} = frac{sqrt{a}(sqrt{a} – 1)}{sqrt{a} – 1} = sqrt{a}$
Phân tích tử thức thành nhân tử để giản ước với mẫu thức.
Bài 6: Rút gọn biểu thức: $sqrt{(sqrt{5} – 3)^2}$
Biểu thức chứa căn bậc hai của một bình phương.
Hướng dẫn giải:
$sqrt{(sqrt{5} – 3)^2} = |sqrt{5} – 3| = 3 – sqrt{5}$ (Vì $sqrt{5} < 3$ nên $sqrt{5} – 3 < 0$)
So sánh $sqrt{5}$ và 3 để xác định dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối.
Bài 7: Rút gọn biểu thức: $sqrt{(2 – sqrt{3})^2} + sqrt{(1 – sqrt{3})^2}$
Biểu thức là tổng của hai căn bậc hai của các bình phương.
Hướng dẫn giải:
$sqrt{(2 – sqrt{3})^2} + sqrt{(1 – sqrt{3})^2} = |2 – sqrt{3}| + |1 – sqrt{3}| = 2 – sqrt{3} + sqrt{3} – 1 = 1$
Xác định dấu của từng biểu thức trong giá trị tuyệt đối để phá dấu.
Bài 8: Rút gọn biểu thức: $frac{2}{sqrt{3} + 1} + frac{1}{sqrt{3} – 2}$
Mẫu số của các phân thức chứa căn thức.
Hướng dẫn giải:
$frac{2}{sqrt{3} + 1} + frac{1}{sqrt{3} – 2} = frac{2(sqrt{3} – 1)}{(sqrt{3} + 1)(sqrt{3} – 1)} + frac{sqrt{3} + 2}{(sqrt{3} – 2)(sqrt{3} + 2)} = frac{2sqrt{3} – 2}{2} + frac{sqrt{3} + 2}{-1} = sqrt{3} – 1 – sqrt{3} – 2 = -3$
Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép cộng các phân thức.
Bài 9: Rút gọn biểu thức: $left( frac{1}{sqrt{x} + 2} + frac{1}{sqrt{x} – 2} right) cdot frac{x – 4}{sqrt{x}}$ (với x > 0, x ≠ 4)
Biểu thức phức tạp chứa biến x dưới dấu căn và trong phân thức.
Hướng dẫn giải:
$left( frac{1}{sqrt{x} + 2} + frac{1}{sqrt{x} – 2} right) cdot frac{x – 4}{sqrt{x}} = frac{sqrt{x} – 2 + sqrt{x} + 2}{(sqrt{x} + 2)(sqrt{x} – 2)} cdot frac{x – 4}{sqrt{x}} = frac{2sqrt{x}}{x – 4} cdot frac{x – 4}{sqrt{x}} = 2$
Cộng hai phân thức trong ngoặc, sau đó nhân với phân thức còn lại và rút gọn.
Bài 10: Rút gọn biểu thức: $frac{sqrt{x} + 1}{x – 1} : left( frac{1}{sqrt{x} – 1} – frac{2}{x – 1} right)$ (với x > 0, x ≠ 1)
Biểu thức chứa phép chia và phép trừ các phân thức có căn thức.
Hướng dẫn giải:
$frac{sqrt{x} + 1}{x – 1} : left( frac{1}{sqrt{x} – 1} – frac{2}{x – 1} right) = frac{sqrt{x} + 1}{x – 1} : frac{sqrt{x} + 1 – 2}{x – 1} = frac{sqrt{x} + 1}{x – 1} cdot frac{x – 1}{sqrt{x} – 1} = frac{sqrt{x} + 1}{sqrt{x} – 1}$
Quy đồng mẫu số trong ngoặc, thực hiện phép trừ, sau đó chuyển phép chia thành phép nhân và rút gọn.
Hy vọng với các ví dụ và bài tập trên, các em học sinh lớp 9 sẽ nắm vững phương pháp rút gọn căn thức và tự tin giải các bài toán liên quan.
