Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững các phương pháp và kỹ thuật sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan, đồng thời tạo nền tảng vững chắc cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao sau này.
Phương Pháp Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai
Để rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các phép toán và biến đổi đại số đã học. Dưới đây là các bước cơ bản và một số kỹ thuật thường dùng:
Bước 1: Xác định dạng của biểu thức và lựa chọn phương pháp phù hợp.
Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi để đưa các căn thức về dạng đơn giản nhất.
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $sqrt{A^2B} = |A|sqrt{B}$ (với $B ge 0$)
- Đưa thừa số vào trong dấu căn: $Asqrt{B} = sqrt{A^2B}$ (với $A ge 0$ nếu $A$ ở ngoài dấu căn)
- Khử căn ở mẫu: $frac{A}{sqrt{B}} = frac{Asqrt{B}}{B}$ (với $B > 0$)
- Trục căn thức ở mẫu:
- $frac{A}{m pm sqrt{B}} = frac{A(m mp sqrt{B})}{m^2 – B}$ (với $m^2 neq B$)
- $frac{A}{sqrt{A} pm sqrt{B}} = frac{A(sqrt{A} mp sqrt{B})}{A-B}$ (với $A neq B$)
Bước 3: Thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia để rút gọn biểu thức.
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo biểu thức đã được rút gọn tối giản.
Ví Dụ Minh Họa Rút Gọn Biểu Thức
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: $3sqrt{2} + 5sqrt{2} – sqrt{8} + sqrt{18}$
Lời giải:
Đầu tiên, ta biến đổi các căn thức chưa tối giản:
- $sqrt{8} = sqrt{4 cdot 2} = 2sqrt{2}$
- $sqrt{18} = sqrt{9 cdot 2} = 3sqrt{2}$
Sau đó, thay vào biểu thức gốc và rút gọn:
$3sqrt{2} + 5sqrt{2} – 2sqrt{2} + 3sqrt{2} = (3 + 5 – 2 + 3)sqrt{2} = 9sqrt{2}$
Vậy, biểu thức sau khi rút gọn là $9sqrt{2}$.
Ví dụ 2: Cho biểu thức $P = frac{x-1}{sqrt{x}} : left( frac{x-1}{sqrt{x}+1} – frac{sqrt{x}}{sqrt{x}+sqrt{x}} right)$
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi $x = 2sqrt{2}+3$.
c) Tìm x thỏa mãn $Psqrt{x} = frac{6sqrt{x}-3}{x-4} – frac{x-4}{sqrt{x}}$.
Lời giải:
a) Rút gọn biểu thức:
$P = frac{x-1}{sqrt{x}} : left( frac{x-1}{sqrt{x}+1} – frac{sqrt{x}}{sqrt{x}(sqrt{x}+1)} right)$
$P = frac{x-1}{sqrt{x}} : left( frac{x-1}{sqrt{x}+1} – frac{1}{sqrt{x}+1} right)$
$P = frac{x-1}{sqrt{x}} : frac{x-2}{sqrt{x}+1} = frac{(x-1)(sqrt{x}+1)}{sqrt{x}(x-2)}$
b) Tính giá trị của P khi $x = 2sqrt{2}+3$:
$x = 2sqrt{2}+3 = (sqrt{2} + 1)^2$, suy ra $sqrt{x} = sqrt{2} + 1$
$P = frac{(((sqrt{2}+1)^2-1)(sqrt{2}+1+1))}{(sqrt{2}+1)((sqrt{2}+1)^2-2)} = frac{(2sqrt{2}+2)(sqrt{2}+2)}{(sqrt{2}+1)(3+2sqrt{2}-2)}=frac{(2sqrt{2}+2)(sqrt{2}+2)}{(sqrt{2}+1)(1+2sqrt{2})}=frac{2(sqrt{2}+1)(sqrt{2}+2)}{(sqrt{2}+1)(1+2sqrt{2})} = frac{2sqrt{2}+4}{1+2sqrt{2}}$
c) Tìm x thỏa mãn $Psqrt{x} = frac{6sqrt{x}-3}{x-4} – frac{x-4}{sqrt{x}}$.
Bài Tập Trắc Nghiệm Rút Gọn Biểu Thức (Có Đáp Án)
Để củng cố kiến thức, chúng ta cùng luyện tập với một số bài tập trắc nghiệm sau:
Câu 1: Giá trị của biểu thức $sqrt{(sqrt{3}-2)^2} + sqrt{4+2sqrt{3}}$ là?
A. 1 B. $sqrt{3}$ C. 2 D. 3
Lời giải:
$sqrt{(sqrt{3}-2)^2} + sqrt{4+2sqrt{3}} = | sqrt{3} – 2 | + sqrt{(sqrt{3} + 1)^2} = 2-sqrt{3} + sqrt{3} + 1 = 3$
Chọn đáp án D.
Câu 2: Giá trị của biểu thức $sqrt{(sqrt{5}-2)^2} – sqrt{(sqrt{5}+2)^2}$ là?
A. 1 B. 0 C. 2 D. -4
Lời giải:
$sqrt{(sqrt{5}-2)^2} – sqrt{(sqrt{5}+2)^2} = |sqrt{5}-2| – |sqrt{5}+2| = sqrt{5} – 2 – sqrt{5} – 2 = -4$
Chọn đáp án D.
Câu 3: Rút gọn biểu thức $frac{sqrt{a^3}}{sqrt{a}}$ với $a > 0$ ta được
A. $a^2$ B. $asqrt{a}$ C. $sqrt{a}$ D. $a$
Lời giải:
$frac{sqrt{a^3}}{sqrt{a}} = sqrt{frac{a^3}{a}} = sqrt{a^2} = |a| = a$ (vì $a > 0$)
Chọn đáp án D.
Câu 4: Giá trị của biểu thức $sqrt{16} – sqrt{9} + sqrt{25}$ là?
A. 4 B. 5 C. 2 D. 6
Lời giải:
$sqrt{16} – sqrt{9} + sqrt{25} = 4 – 3 + 5 = 6$
Chọn đáp án D.
Câu 5: Rút gọn biểu thức $sqrt{a^2b} + asqrt{b}$ với $a > 0$ ta được
A. $2asqrt{b}$ B. $asqrt{b}$ C. $2sqrt{a^2b}$ D. $a^2sqrt{b}$
Lời giải:
$sqrt{a^2b} + asqrt{b} = asqrt{b} + asqrt{b} = 2asqrt{b}$
Chọn đáp án A.
Câu 6: Rút gọn biểu thức : $frac{sqrt{x^2-2x+1}}{x-1}$
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
Lời giải:
$frac{sqrt{x^2-2x+1}}{x-1} = frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1} = frac{|x-1|}{x-1}$. Vì $x>1$ nên $|x-1| = x-1$. Vậy $frac{|x-1|}{x-1} = 1$
Chọn đáp án A.
Câu 7: Rút gọn biểu thức $sqrt{(2-sqrt{3})^2} + sqrt{(2+sqrt{3})^2}$
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
$sqrt{(2-sqrt{3})^2} + sqrt{(2+sqrt{3})^2} = |2-sqrt{3}| + |2+sqrt{3}| = 2-sqrt{3} + 2 + sqrt{3} = 4$
Chọn đáp án D.
Câu 8: Rút gọn biểu thức: $frac{a-1}{sqrt{a}-1}$ (với $a ge 0;a neq 1$)
A. $sqrt{a}$ B. $sqrt{a}-1$ C. $sqrt{a}+1$ D. $sqrt{a+1}$
Lời giải:
$frac{a-1}{sqrt{a}-1} = frac{(sqrt{a}-1)(sqrt{a}+1)}{sqrt{a}-1} = sqrt{a}+1$
Chọn đáp án C.
Câu 9: Rút gọn biểu thức: $frac{x-1}{sqrt{x}+1}$ với $x ge 0, x neq 1$
A. $sqrt{x}-1$ B. $sqrt{x}+1$ C. $x-1$ D. $x+1$
Lời giải:
$frac{x-1}{sqrt{x}+1} = frac{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+1)}{sqrt{x}+1} = sqrt{x}-1$
Chọn đáp án A.
Câu 10: Rút gọn biểu thức: $frac{x-1}{sqrt{x}-1}$ với $x ge 0, x neq 1$
A. $sqrt{x}-1$ B. $sqrt{x}+1$ C. $x-1$ D. $x+1$
Lời giải:
$frac{x-1}{sqrt{x}-1} = frac{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+1)}{sqrt{x}-1} = sqrt{x}+1$
Chọn đáp án D.
Câu 11: Giá trị biểu thức $sqrt{4} + sqrt{9}$ là:
A. 6
B. 4
C. 5
D. 3
Lời giải:
$sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5$
Đáp án cần chọn là: C
Câu 12: Rút gọn biểu thức $sqrt{a^2} + a$ với a > 0 ta được:
A. 2a B. 0 C. a D. -a
Lời giải:
Với a > 0, ta có $sqrt{a^2} + a = a + a = 2a$
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13: Rút gọn biểu thức $sqrt{(1-sqrt{2})^2}$ ta được:
A. $1 + sqrt{2}$ B. $1 – sqrt{2}$ C. $sqrt{2} – 1$ D. $2 + sqrt{2}$
Lời giải:
$sqrt{(1-sqrt{2})^2} = |1-sqrt{2}| = sqrt{2} – 1$
Đáp án cần chọn là: C
Câu 14: Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A. $sqrt{a^2} = -a$ (với a < 0) B. $sqrt{a^2} = a$ (với a ≥ 0) C. $sqrt{a^2} = |a|$ (với mọi a) D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
$sqrt{a^2} = |a|$ (với mọi a)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 15: Với a, b > 0, đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. $sqrt{a/b} = sqrt{a}/sqrt{b}$ B. $sqrt{a/b} = sqrt{a}/sqrt{-b}$ C. $sqrt{a/b} = -sqrt{a}/sqrt{b}$ D. $sqrt{a/b} = -sqrt{a}/sqrt{-b}$
Lời giải:
Ta có: $sqrt{a/b} = sqrt{a}/sqrt{b}$ (với a, b > 0)
Đáp án cần chọn là: A
Bài Tập Tự Luyện Rút Gọn Biểu Thức
Để nâng cao trình độ, bạn hãy thử sức với các bài tập tự luyện sau:
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $sqrt{12} + sqrt{4.5} + sqrt{12.5}$
b) $sqrt{96} – 6sqrt{frac{2}{3}} + 3sqrt{3} + sqrt{6} – sqrt{10} – 4sqrt{6}$
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) $2sqrt{frac{27}{4}} – sqrt{frac{48}{9}} – frac{2}{5}sqrt{frac{75}{16}}$
b) $9sqrt{9} – sqrt{18} – frac{1}{11}sqrt{11} + 3sqrt{22}$
c) $(5+sqrt{3})sqrt{8} – 2sqrt{15}$
d) $sqrt{48} – 2sqrt{3} + sqrt{24.5} – sqrt{frac{45}{3}}$
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $2sqrt{3} – sqrt{68} – 2 – 2sqrt{frac{1}{63}}.16 = -frac{3}{2}$
b) $frac{1-sqrt{a}}{a(1-sqrt{a})} + frac{sqrt{a}}{1-sqrt{a}} (1-sqrt{a})^2 = 1$ với $a ge 0, a neq 1$
Bài 4. Với a > 0, các biểu thức sau được rút gọn:
a) $5sqrt{a} + 6sqrt{frac{a}{4}} – sqrt{frac{a}{4a}} + 5$
b) $2sqrt{a} – 9sqrt{frac{a}{3}} + frac{a^2}{4a} + 2a^2 cdot sqrt{frac{25a}{5}}$
Bài 5. Cho biểu thức $N = frac{2x-9}{sqrt{x}-5} – frac{x+6}{sqrt{x}-2} – frac{2x+13}{sqrt{x}+3}$
a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tính giá trị của N khi $x = 11-6sqrt{2}$.
c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.
Bài 6. Nối cột A với cột B
Bài 7. Với $age0, bge0$ hãy rút gọn biểu thức $A = 5sqrt{a} – 4sqrt{b}sqrt{25a^3} + 5sqrt{a}sqrt{16ab^2} – 9sqrt{a}$.
Bài 8. Các đẳng thức dưới đây được chứng minh đúng hay sai?
| Đẳng thức | Đúng/ Sai |
|---|---|
| $frac{sqrt{a}+sqrt{b}}{b^2}sqrt{frac{a^2b^4}{a^2+2ab+b^2}} = sqrt{a}$ với $a + b neq 0$ | |
| $frac{sqrt{a}+sqrt{b}}{2sqrt{a}-2sqrt{b}} – frac{sqrt{a}-sqrt{b}}{2sqrt{a}+2sqrt{b}} – frac{2sqrt{b}}{b-a} = frac{2a}{a+b}$ với $a neq b; a, b ge 0$ |
Bài 9. Với a > 0, cho hai biểu thức $A = frac{1}{sqrt{x}+x} + frac{sqrt{x}}{x+1}$ và $B = frac{x}{sqrt{x}+x}$.
a) Tính giá trị của A khi x = 4.
b) Tìm các giá trị thực của x để B = 13.
c) So sánh B với 1.
d) Đặt $P = A : B$. Tìm x thỏa mãn $Psqrt{x}+25 – 1.sqrt{x} = frac{3sqrt{x}-3}{x-4} + 3$.
Bài 10. Cho biểu thức:
$P = left( frac{1}{sqrt{x}-1} – frac{2sqrt{x}}{x-sqrt{x}+sqrt{x}-1} right) : left( frac{x+sqrt{x}}{x+sqrt{x}} + frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+1} + frac{1}{sqrt{x}+1} right)$ với $x ge 0, x neq 1$
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P < 12.
c) Tìm x nguyên để P nguyên.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Việc luyện tập thường xuyên và nắm vững các phương pháp sẽ giúp bạn tự tin chinh phục các bài toán rút gọn biểu thức trong chương trình Toán lớp 9. Chúc các bạn thành công!
