Để giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến căn bậc hai, việc Rút Gọn Biểu Thức Sau là một kỹ năng vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp tiếp cận dễ hiểu và các ví dụ minh họa chi tiết để bạn có thể tự tin chinh phục mọi bài toán.
Phương Pháp Chung Để Rút Gọn Biểu Thức
- Tìm điều kiện xác định: Nếu đề bài chưa cho, hãy xác định rõ ràng điều kiện để biểu thức có nghĩa. Điều này đặc biệt quan trọng khi biểu thức chứa phân số hoặc căn bậc hai.
- Biến đổi về dạng bình phương: Mục tiêu là đưa các biểu thức bên trong dấu căn về dạng $A^2$, $A^3$,… để có thể đơn giản hóa phép toán. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ một cách linh hoạt.
- Áp dụng công thức khai căn: Sử dụng các công thức $sqrt{A^2} = |A|$, $sqrt[3]{A^3} = A$ để loại bỏ dấu căn. Chú ý đến dấu của A để phá dấu giá trị tuyệt đối một cách chính xác.
- Rút gọn và kết hợp các số hạng: Sau khi khai căn, tiến hành rút gọn biểu thức bằng cách cộng, trừ, nhân, chia các số hạng đồng dạng.
Hình ảnh minh họa các bước cơ bản để rút gọn biểu thức chứa căn, nhấn mạnh việc đưa về dạng bình phương và áp dụng công thức khai căn.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:
a) $sqrt{49a^2}$ với $a > 0$
b) $sqrt{16a^4} + 3a$
c) $5sqrt{25a^2} – 5a$ với $a < 0$
d) $sqrt{100a^2} + a$
Hướng dẫn giải:
a) $sqrt{49a^2} = sqrt{(7a)^2} = |7a| = 7a$ (vì $a > 0$).
b) $sqrt{16a^4} + 3a = sqrt{(4a^2)^2} + 3a = |4a^2| + 3a = 4a^2 + 3a$ (vì $4a^2 geq 0$ với mọi a).
c) $5sqrt{25a^2} – 5a = 5sqrt{(5a)^2} – 5a = 5|5a| – 5a = 5.(-5a) – 5a = -30a$ (vì $a < 0$).
d) $sqrt{100a^2} + a = sqrt{(10a)^2} + a = |10a| + a$.
- Nếu $a < 0$ thì $|10a| = -10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = -10a + a = -9a$.
- Nếu $a > 0$ thì $|10a| = 10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = 10a + a = 11a$.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:
$A = sqrt{4 + 2sqrt{3}} + sqrt{4 – 2sqrt{3}}$
Hướng dẫn giải:
$A = sqrt{(sqrt{3} + 1)^2} + sqrt{(sqrt{3} – 1)^2} = |sqrt{3} + 1| + |sqrt{3} – 1| = sqrt{3} + 1 + sqrt{3} – 1 = 2sqrt{3}$
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:
a) $sqrt{9 + 4sqrt{5}} + sqrt{14 – 6sqrt{5}}$
Hướng dẫn giải:
a) $sqrt{9 + 4sqrt{5}} + sqrt{14 – 6sqrt{5}} = sqrt{(2+sqrt{5})^2} + sqrt{(3-sqrt{5})^2} = |2+sqrt{5}| + |3-sqrt{5}| = 2 + sqrt{5} + 3 – sqrt{5} = 5$
Hình ảnh ví dụ về rút gọn biểu thức có chứa các số hạng căn thức bậc hai, thể hiện rõ việc biến đổi về dạng bình phương.
Bài Tập Tự Luyện (Trắc Nghiệm và Tự Luận)
Bài 1: Giá trị của biểu thức $sqrt{4a^2}$ với $a > 0$ là:
A. $4a$ B. $-4a$ C. $2a$ D. $-2a$
Đáp án: C
Giải thích: $sqrt{4a^2} = sqrt{(2a)^2} = |2a| = 2a$ (vì $a > 0$)
Bài 2: Biểu thức $sqrt{(x+2)^2} – sqrt{x^2}$ với $-2 leq x leq 0$ rút gọn được:
A. $2 + 2x$ B. $-2 – 2x$ C. $2x$ D. $-2x$
Đáp án: A
Giải thích: $sqrt{(x+2)^2} – sqrt{x^2} = |x+2| – |x| = (x+2) – (-x) = 2x + 2$ (Vì $-2 leq x leq 0$ nên $x + 2 geq 0$ và $x leq 0$)
Bài 3: Biểu thức $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ (x > 1) bằng:
A. B. $x + 1$ C. $1$ D. $-1$
Đáp án: C
Giải thích: $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1} = frac{|x-1|}{x-1} = frac{x-1}{x-1} = 1$ (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 nên |x – 1| = x – 1).
Bài 4: Biểu thức $sqrt{a}cdotsqrt{b} – sqrt{(a-b)^2}$ (a > b > 0) rút gọn được:
A. $a$ B. $b$ C. $ab$ D. $a^2b^2$
Đáp án: A
Với a > b > 0 thì a – b > 0 nên ta có:
$sqrt{a}cdotsqrt{b} – sqrt{(a-b)^2} = (sqrt{a})^2 = a$
Bài 5: Với a thỏa mãn điều kiện xác định, biểu thức $frac{a-b}{sqrt{a} – sqrt{b}} – frac{sqrt{a^3} + sqrt{b^3}}{a – b}$ rút gọn được:
A. $frac{sqrt{ab}}{sqrt{a}+sqrt{b}}$
B. $sqrt{a}-sqrt{b}$
C. $sqrt{a} + sqrt{b}$
D. $frac{sqrt{ab}}{sqrt{a}-sqrt{b}}$
Đáp án: A
Giải thích: Biến đổi và rút gọn từng phân thức rồi thực hiện phép trừ.
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau:
$sqrt{4} – sqrt{3} – sqrt{4 + sqrt{3}}$
Hướng dẫn giải:
Biến đổi $sqrt{4 + sqrt{3}}$ thành dạng $(sqrt{a} + sqrt{b})^2$ rồi rút gọn.
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
$frac{sqrt{x^2 – 4x + 4}}{sqrt{x^2 + 4x + 4}}$ với $x < -2$
Hướng dẫn giải:
Đưa biểu thức trong căn về dạng bình phương, sau đó phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào điều kiện $x < -2$.
Bài 8: Rút gọn biểu thức sau:
$frac{xsqrt{x} + ysqrt{y}}{sqrt{x} + sqrt{y}} – (sqrt{x} – sqrt{y})^2$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng hằng đẳng thức $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)$ để rút gọn phân thức đầu tiên.
Bài 9: Rút gọn biểu thức sau:
$frac{a + b + 2sqrt{ab}}{sqrt{a} + sqrt{b}}$
Hướng dẫn giải:
Biến đổi tử thức về dạng $(sqrt{a} + sqrt{b})^2$ rồi rút gọn.
Bài 10: Rút gọn biểu thức sau:
$left( frac{sqrt{x}}{sqrt{x} – 1} – frac{1}{x – sqrt{x}} right) : left( frac{1}{sqrt{x} + 1} + frac{2}{x – 1} right)$
Hướng dẫn giải:
Quy đồng mẫu thức, rút gọn từng biểu thức trong ngoặc rồi thực hiện phép chia.
Hình ảnh tổng hợp các bài tập tự luyện rút gọn biểu thức chứa căn, giúp người học củng cố kiến thức.
Với những kiến thức và bài tập trên, hy vọng bạn sẽ nắm vững phương pháp và tự tin rút gọn biểu thức sau một cách chính xác và hiệu quả. Chúc bạn thành công!
