Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững các phương pháp và kỹ thuật sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách dễ dàng và chính xác.
Phương Pháp Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai
Để rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm điều kiện xác định: Xác định các giá trị của biến để biểu thức có nghĩa (nếu đề bài chưa cho).
- Đưa về dạng bình phương: Biến đổi các biểu thức trong căn về dạng $A^2$ để có thể khai căn.
- Rút gọn: Sử dụng các hằng đẳng thức và các phép toán để rút gọn biểu thức.
Lưu ý:
- $sqrt{A^2} = |A|$ (giá trị tuyệt đối của A)
- Cần xét dấu của A để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Hình ảnh minh họa các bước cơ bản để rút gọn biểu thức căn thức bậc hai.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $sqrt{(7a)^2}$ với $a > 0$
b) $sqrt{16a^4} + 3a$
c) $5sqrt{(5a)^2} – 5a$ với $a < 0$
d) $sqrt{100a^2} + a$
Hướng dẫn giải:
a) $sqrt{(7a)^2} = |7a| = 7a$ (vì $a > 0$)
b) $sqrt{16a^4} + 3a = sqrt{(4a^2)^2} + 3a = |4a^2| + 3a = 4a^2 + 3a$ (vì $4a^2 geq 0$ với mọi a)
c) $5sqrt{(5a)^2} – 5a = 5|5a| – 5a = 5(-5a) – 5a = -25a – 5a = -30a$ (vì $a < 0$)
d) $sqrt{100a^2} + a = |10a| + a$
* Nếu $a < 0$ thì $|10a| = -10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = -10a + a = -9a$
* Nếu $a > 0$ thì $|10a| = 10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = 10a + a = 11a$Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: $A = sqrt{4 + 2sqrt{3}} + sqrt{4 – 2sqrt{3}}$
Hình ảnh biểu thức phức tạp cần rút gọn, giúp học sinh hình dung rõ hơn.
Hướng dẫn giải:
$A = sqrt{(sqrt{3} + 1)^2} + sqrt{(sqrt{3} – 1)^2} = |sqrt{3} + 1| + |sqrt{3} – 1| = sqrt{3} + 1 + sqrt{3} – 1 = 2sqrt{3}$
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: $B = sqrt{7 – 4sqrt{3}} + sqrt{7 + 4sqrt{3}}$
Hướng dẫn giải:
$B = sqrt{(2 – sqrt{3})^2} + sqrt{(2 + sqrt{3})^2} = |2 – sqrt{3}| + |2 + sqrt{3}| = 2 – sqrt{3} + 2 + sqrt{3} = 4$
Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Bài 1: Giá trị của biểu thức $sqrt{4a^2}$ với $a > 0$ là:
A. $4a$
B. $-4a$
C. $2a$
D. $-2a$
Đáp án: C
Giải thích: $sqrt{4a^2} = sqrt{(2a)^2} = |2a| = 2a$ (vì $a > 0$)
Hình ảnh giải thích chi tiết cách giải bài tập, giúp học sinh hiểu rõ hơn.
Bài 2: Biểu thức $sqrt{(x+2)^2} – sqrt{x^2}$ với $-2 leq x leq 0$ rút gọn được:
A. $2 + 2x$
B. $-2 – 2x$
C. $2x$
D. $-2x$
Đáp án: A
Giải thích: $sqrt{(x+2)^2} – sqrt{x^2} = |x+2| – |x| = (x+2) – (-x) = 2x + 2$ (Vì $-2 leq x leq 0$ nên $x + 2 geq 0$ và $x leq 0$)
Bài 3: Biểu thức $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ (x > 1) bằng:
A. $sqrt{x-1}$
B. $x + 1$
C. $1$
D. $-1$
Đáp án: C
Giải thích: $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1} = frac{|x-1|}{x-1} = frac{x-1}{x-1} = 1$ (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 nên |x – 1| = x – 1).
Bài 4: Biểu thức $sqrt{frac{a^3}{b}} cdot sqrt{ab}$ (a > b > 0) rút gọn được:
A. $a$
B. $b$
C. $ab$
D. $a^2b^2$
Đáp án: A
Giải thích: Với a > b > 0 thì a – b > 0 nên ta có:
$sqrt{frac{a^3}{b}} cdot sqrt{ab} = sqrt{frac{a^3}{b} cdot ab} = sqrt{a^4} = a^2$
Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, hãy tự luyện tập với các bài tập sau:
- Rút gọn biểu thức: $sqrt{9x^2 – 6x + 1}$
- Rút gọn biểu thức: $sqrt{x^2 + 4x + 4} – |x|$ với $x < -2$
- Tìm giá trị của x để biểu thức $sqrt{x^2 – 4x + 4}$ bằng 3
Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững các kỹ năng rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan. Chúc các bạn học tốt!
