Phương pháp chung để rút gọn căn thức bậc hai
Để Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai một cách hiệu quả, bạn cần tuân theo các bước sau:
-
Xác định điều kiện: Tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu đề bài chưa cho). Điều này đảm bảo rằng biểu thức có nghĩa.
-
Biến đổi về dạng bình phương: Đưa các biểu thức trong căn về dạng $A^2$, $A^3$,… để đơn giản hóa. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ thuật phân tích thành nhân tử.
-
Rút gọn: Áp dụng các quy tắc về căn bậc hai để loại bỏ căn thức hoặc đơn giản hóa biểu thức dưới dấu căn.
Lưu ý:
- $sqrt{A^2} = |A|$ (Giá trị tuyệt đối của A)
- $sqrt{AB} = sqrt{A} cdot sqrt{B}$ (Với A, B ≥ 0)
- $sqrt{frac{A}{B}} = frac{sqrt{A}}{sqrt{B}}$ (Với A ≥ 0, B > 0)
Ví dụ minh họa các bước rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $sqrt{49a^2}$ với $a > 0$
b) $sqrt{16a^4} + 3a$
c) $5sqrt{25a^2} – 5a$ với $a < 0$
d) $sqrt{100a^2} + a$
Hướng dẫn giải:
a) $sqrt{49a^2} = sqrt{(7a)^2} = |7a| – 5a = 7a – 5a = 2a$ (vì $a > 0$).
b) $sqrt{16a^4} + 3a = sqrt{(4a^2)^2} + 3a = |4a^2| + 3a = 4a^2 + 3a$ (vì $4a^2 ≥ 0$ với mọi $a$).
c) $5sqrt{25a^2} – 5a = 5sqrt{(5a)^2} – 5a = 5.|5a| – 5a = 5.(-5a) – 5a = -25a – 5a = -30a$ (vì $a < 0$).
d) $sqrt{100a^2} + a = sqrt{(10a)^2} + a = |10a| + a$.
-
Nếu $a < 0$ thì $|10a| = -10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = -10a + a = -9a$
-
Nếu $a > 0$ thì $|10a| = 10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = 10a + a = 11a$ .
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: $A = sqrt{4 + 2sqrt{3}} + sqrt{4 – 2sqrt{3}}$
Hướng dẫn giải:
$A = sqrt{(sqrt{3} + 1)^2} + sqrt{(sqrt{3} – 1)^2} = |sqrt{3} + 1| + |sqrt{3} – 1| = sqrt{3} + 1 + sqrt{3} – 1 = 2sqrt{3}$ (vì $sqrt{3} > 1$)
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:
$B = frac{x-y}{sqrt{x} – sqrt{y}} + frac{xsqrt{x} + ysqrt{y}}{x – sqrt{xy} + y}$ với $x ge 0, y ge 0, x ne y$
Hướng dẫn giải:
$B = frac{(sqrt{x} – sqrt{y})(sqrt{x} + sqrt{y})}{sqrt{x} – sqrt{y}} + frac{(sqrt{x} + sqrt{y})(x – sqrt{xy} + y)}{x – sqrt{xy} + y} = sqrt{x} + sqrt{y} + sqrt{x} + sqrt{y} = 2(sqrt{x} + sqrt{y})$
Bài tập trắc nghiệm tự luyện để nắm vững kiến thức rút gọn biểu thức chứa căn
Bài 1: Giá trị của biểu thức $sqrt{4a^2}$ với $a > 0$ là:
A. 4a B. -4a C. 2a D. -2a.
Đáp án: C
Giải thích: $sqrt{4a^2} = sqrt{(2a)^2} = |2a| = 2a$ (vì a > 0)
Bài 2: Biểu thức $sqrt{(x+2)^2} – sqrt{x^2}$ với $-2 le x le 0$ rút gọn được :
A. 2 + 2x B. -2 – 2x C. 2x D. -2x.
Đáp án: A
Giải thích: $sqrt{(x+2)^2} – sqrt{x^2} = |x+2| – |x| = (x+2) – (-x) = 2x + 2$ (Vì $-2 le x le 0$ nên $x + 2 ge 0$ và $x le 0$)
Bài 3: Biểu thức $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ (x > 1) bằng :
A. $frac{1}{x-1}$ B. x + 1 C. 1 D. -1.
Đáp án: C
Giải thích: $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1} = frac{|x-1|}{x-1} = frac{x-1}{x-1} = 1$ (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 nên |x – 1| = x – 1).
Bài 4: Biểu thức $sqrt{frac{a^3}{b}} cdot sqrt{ab}$ (a > b > 0) rút gọn được :
A. a B. b C. ab D. $a^2b^2$.
Đáp án: A
Giải thích: Với a > b > 0 thì a – b > 0 nên ta có: $sqrt{frac{a^3}{b}} cdot sqrt{ab} = sqrt{frac{a^3}{b} cdot ab} = sqrt{a^4} = a^2$
Bài 5: Với a thỏa mãn điều kiện xác định, biểu thức $frac{a-1}{sqrt{a}-1}$ rút gọn được:
A. $sqrt{a} + 1$ B. $sqrt{a} – 1$ C. a + 1 D. a – 1
Đáp án: A
Giải thích: $frac{a-1}{sqrt{a}-1} = frac{(sqrt{a} – 1)(sqrt{a} + 1)}{sqrt{a}-1} = sqrt{a} + 1$
Bài 6: Rút gọn biểu thức: $A = sqrt{9x^2 + 12x + 4}$
Bài 7: Rút gọn biểu thức: $B = sqrt{x^2 – 6x + 9} + x$ với $x < 3$
Bài 8: Rút gọn biểu thức: $C = frac{x^2 – 3}{sqrt{x^2 – 3}}$ với $x^2 > 3$
Bài 9: Rút gọn biểu thức: $D = frac{x – 4}{sqrt{x} + 2}$ với $x ge 0$
Bài 10: Rút gọn biểu thức: $E = left( frac{sqrt{x}}{sqrt{x} – 1} – frac{1}{x – sqrt{x}} right) : left( frac{1}{sqrt{x} + 1} + frac{2}{x – 1} right)$ với $x > 0$ và $x ne 1$
Lời khuyên: Để thành thạo kỹ năng rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, bạn nên luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau. Chú ý đến các điều kiện xác định và áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ.
