Rút gọn biểu thức là một kỹ năng quan trọng trong toán học, đặc biệt là khi làm việc với các biểu thức chứa căn thức bậc hai. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp rút gọn, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.
Phương Pháp Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn
Để rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai hiệu quả, bạn cần thực hiện theo các bước sau:
- Xác định điều kiện: Tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu đề bài chưa cho). Điều này đảm bảo rằng các phép toán căn bậc hai được thực hiện trên các số không âm.
- Biến đổi về dạng bình phương: Cố gắng biến đổi các biểu thức trong căn về dạng $A^2$, $A^3$,… Điều này giúp loại bỏ dấu căn và đơn giản hóa biểu thức.
- Rút gọn: Thực hiện các phép toán đại số để rút gọn biểu thức. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và các kỹ thuật phân tích thành nhân tử để đạt hiệu quả cao nhất.
Ví Dụ Minh Họa Rút Gọn Biểu Thức
Để hiểu rõ hơn về phương pháp, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:
Hướng dẫn giải:
a) $sqrt{49a^2}$ = $sqrt{(7a)^2}$ = $|7a|$ – 5a = 7a – 5a = 2a (vì a > 0).
b) $sqrt{16a^4}$ + 3a = $sqrt{(4a^2)^2}$ + 3a = $|4a^2|$ + 3a = 4a^2 + 3a (vì $4a^2$ ≥ 0 với mọi a).
c) $5sqrt{25a^2}$ – 5a = $5sqrt{(5a)^2}$ – 5a = 5.|5a| – 5a = 5.(-5a) – 5a = -25a – 5a = -30a (vì a < 0).
d) $sqrt{100a^2}$ + a = $sqrt{(10a)^2}$ + a = |10a| + a .
- Nếu a < 0 thì |10a| = -10a , do đó $sqrt{100a^2}$ + a = -10a + a = -9a
- Nếu a > 0 thì |10a| = 10a , do đó $sqrt{100a^2}$ + a = 10a + a = 11a .
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải:
Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Để kiểm tra kiến thức và rèn luyện kỹ năng, hãy thử sức với các bài tập trắc nghiệm sau:
Bài 1: Giá trị của biểu thức $sqrt{4a^2}$ với a > 0 là:
A. 4a
B. -4a
C. 2a
D. -2a.
Đáp án: C
Giải thích: $sqrt{4a^2}$ = $sqrt{(2a)^2}$ = |2a| = 2a (vì a > 0)
Bài 2: Biểu thức $sqrt{(x+2)^2}$ – $sqrt{x^2}$ với -2 ≤ x ≤ 0 rút gọn được :
A. 2 + 2x
B. -2 – 2x
C. 2x
D. -2x.
Đáp án: A
Giải thích: $sqrt{(x+2)^2}$ – $sqrt{x^2}$ = |x+2| – |x| = (x+2) – (-x) = 2x + 2 (Vì -2 ≤ x ≤ 0 nên x + 2 ≥ 0 và x ≤ 0)
Bài 3: Biểu thức $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ (x > 1) bằng :
A.
B. x + 1
C. 1
D. -1.
Đáp án: C
Giải thích: $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ = $frac{|x-1|}{x-1}$ = $frac{x-1}{x-1}$ = 1 (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 nên |x – 1| = x – 1).
Bài 4: Biểu thức $sqrt{frac{a^3}{b}}.sqrt{ab}$ (a > b > 0) rút gọn được :
A. a
B. b
C. ab
D. $a^2b^2$.
Đáp án: A
Giải thích: Với a > b > 0 thì a – b > 0 nên ta có:
$sqrt{frac{a^3}{b}}.sqrt{ab}$ = $sqrt{frac{a^3}{b}.ab}$ = $sqrt{a^4}$ = $a^2$
Bài 5: Với a thỏa mãn điều kiện xác định, biểu thức $sqrt{a^2 – 2a + 1} : (a-1)$ rút gọn được:
Đáp án: A
Giải thích: $sqrt{a^2 – 2a + 1} : (a-1)$ = $sqrt{(a-1)^2} : (a-1)$ = $|a-1| : (a-1)$ = $frac{a-1}{a-1}$ = 1
Bài 6: Rút gọn các biểu thức dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Bài 7: Rút gọn các biểu thức dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Bài 8: Rút gọn các biểu thức dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Bài 9: Rút gọn các biểu thức dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Bài 10: Rút gọn các biểu thức dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững phương pháp và có thể tự tin giải các bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chúc bạn thành công!