Rút Gọn Biểu Thức A chứa căn bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 và các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp tiếp cận hiệu quả, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Phương Pháp Chung Để Rút Gọn Biểu Thức A Chứa Căn Bậc Hai
Để rút gọn biểu thức A chứa căn bậc hai, bạn cần thực hiện theo các bước sau:
-
Tìm điều kiện xác định: Xác định giá trị của biến để biểu thức có nghĩa (nếu đề bài chưa cho).
-
Biến đổi biểu thức trong căn: Đưa các biểu thức trong căn về dạng bình phương (A2), lập phương (A3),… để khử căn. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và các phép biến đổi đại số để đạt được mục tiêu này.
-
Rút gọn: Áp dụng các quy tắc về căn bậc hai để rút gọn biểu thức. Đặc biệt, lưu ý đến dấu của biểu thức khi đưa ra khỏi căn.
Hình ảnh minh họa các bước chính trong quá trình rút gọn biểu thức A có chứa căn bậc hai.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) √(49a2) với a > 0
b) √(16a4) + 3a
c) √(25(5a)2) – 5a với a < 0
d) √(100a2) + a
Hướng dẫn giải:
a) √(49a2) = √(7a)2 = |7a| – 5a = 7a – 5a = 2a (vì a > 0).
b) √(16a4) + 3a = √(4a2)2 + 3a = |4a2| + 3a = 4a2 + 3a (vì 4a2 ≥ 0 với mọi a).
c) √(25(5a)2) – 5a = 5.|5a| – 5a = 5.(-5a) – 5a = -25a – 5a = -30a (vì a < 0)
d) √(100a2) + a = √(10a)2 + a = |10a| + a .
- Nếu a < 0 thì |10a| = -10a do đó √(100a2) + a = -10a + a = -9a
- Nếu a > 0 thì |10a| = 10a , do đó √(100a2) + a = 10a + a = 11a .
*Hình ảnh thể hiện các biểu thức A chứa căn bậc hai cần rút gọn trong ví dụ 1.*Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = √(4 + 2√3) + √(4 – 2√3)
Hướng dẫn giải:
A = √(4 + 2√3) + √(4 – 2√3)
= √(3 + 2√3 + 1) + √(3 – 2√3 + 1)
= √((√3)2 + 2.√3.1 + 12) + √((√3)2 – 2.√3.1 + 12)
= √((√3 + 1)2) + √((√3 – 1)2)
= |√3 + 1| + |√3 – 1|
= √3 + 1 + √3 – 1 (vì √3 > 1)
= 2√3
Hình ảnh biểu thức A cần rút gọn, bao gồm các căn bậc hai lồng nhau.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: √(4 + √7) – √(4 – √7)
Hướng dẫn giải:
Đặt A = √(4 + √7) – √(4 – √7)
=> A2 = (√(4 + √7) – √(4 – √7))2
= (√(4 + √7))2 – 2.√(4 + √7).√(4 – √7) + (√(4 – √7))2
= 4 + √7 – 2.√(16 – 7) + 4 – √7
= 8 – 2.√9
= 8 – 2.3
= 2
=> A = √2 (vì A > 0)
Vậy √(4 + √7) – √(4 – √7) = √2
Hình ảnh minh họa quá trình bình phương biểu thức A để loại bỏ căn bậc hai.
Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Bài 1: Giá trị của biểu thức √(4a2) với a > 0 là:
A. 4a B. -4a C. 2a D. -2a
Đáp án: C
√(4a2) = √(2a)2 = |2a| = 2a (vì a > 0)
Bài 2: Biểu thức √(x2 + 4x + 4) – √(x2) với -2 ≤ x ≤ 0 rút gọn được:
A. 2 + 2x B. -2 – 2x C. 2x D. -2x.
Đáp án: A
√(x2 + 4x + 4) – √(x2) = √(x+2)2 – |x| = |x+2| – |x| = (x+2) – (-x) = 2x + 2 (Vì -2 ≤ x ≤ 0 nên x + 2 ≥ 0 và x ≤ 0)
Bài 3: Biểu thức (√(x2 – 2x + 1))/(x – 1) (x > 1) bằng:
A. B. x + 1 C. 1 D. -1.
Đáp án: C
(√(x2 – 2x + 1))/(x – 1) = (√((x-1)2))/(x-1) = (|x-1|)/(x-1) = (x-1)/(x-1) = 1 (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 nên |x – 1| = x – 1).
Bài 4: Biểu thức √(a2 – 2ab + b2) / (a – b) (a > b > 0) rút gọn được:
A. a B. b C. ab D. a2b2.
Đáp án: A
Với a > b > 0 thì a – b > 0 nên ta có: √(a2 – 2ab + b2) / (a – b) = (√((a-b)2))/(a-b) = (|a-b|)/(a-b) = (a-b)/(a-b) = 1
Bài 5: Với a thỏa mãn điều kiện xác định, biểu thức (a)/(√(a2 – 2a + 1)) : (√(a2)/(√(a2 – 2a + 1)) + a/(a – 1)) rút gọn được:
A. a/(a+1) B. a/(a-1) C. a2/(a-1) D. a2/(a+1)
Đáp án: A
(a)/(√(a2 – 2a + 1)) : (√(a2)/(√(a2 – 2a + 1)) + a/(a – 1)) = a/(|a-1|) : (|a|/|a-1| + a/(a-1))
Bài 6: Rút gọn biểu thức: A = √(x2 + 6x + 9) – √(x2 – 6x + 9) với -3 ≤ x ≤ 3
Hướng dẫn giải:
A = √(x2 + 6x + 9) – √(x2 – 6x + 9) = √((x+3)2) – √((x-3)2) = |x+3| – |x-3| = (x+3) – (3-x) = 2x (vì -3 ≤ x ≤ 3 nên x + 3 ≥ 0 và x – 3 ≤ 0)
Hình ảnh bài tập tự luyện rút gọn biểu thức A chứa căn với điều kiện của x.
Bài 7: Rút gọn biểu thức: B = (√(x2))/(x) + (√(x4))/(x2) với x > 0
Hướng dẫn giải:
B = (√(x2))/(x) + (√(x4))/(x2) = (|x|)/(x) + (x2)/(x2) = x/x + 1 = 1 + 1 = 2 (vì x > 0)
Hình ảnh bài tập tự luyện rút gọn biểu thức B với điều kiện của x.
Bài 8: Rút gọn biểu thức: C = √(x2 – 4x + 4) + √(x2 + 4x + 4) với x < -2
Hướng dẫn giải:
C = √(x2 – 4x + 4) + √(x2 + 4x + 4) = √((x-2)2) + √((x+2)2) = |x-2| + |x+2| = (2-x) + (-x-2) = -2x (vì x < -2)
Hình ảnh bài tập tự luyện rút gọn biểu thức C với điều kiện của x.
Bài 9: Rút gọn biểu thức: D = (√(x2 – 2x + 1))/(1-x) + (√(x2 + 2x + 1))/(x+1) với x < -1
Hướng dẫn giải:
D = (√(x2 – 2x + 1))/(1-x) + (√(x2 + 2x + 1))/(x+1) = (√((x-1)2))/(1-x) + (√((x+1)2))/(x+1) = (|x-1|)/(1-x) + (|x+1|)/(x+1) = (1-x)/(1-x) + (-x-1)/(x+1) = 1 – 1 = 0 (vì x < -1)
Hình ảnh bài tập tự luyện rút gọn biểu thức D với điều kiện của x.
Bài 10: Rút gọn biểu thức: E = (√(x4 + 2x2 + 1))/(x2 + 1) – (√(x4 – 2x2 + 1))/(x2 – 1) với x > 1
Hướng dẫn giải:
E = (√(x4 + 2x2 + 1))/(x2 + 1) – (√(x4 – 2x2 + 1))/(x2 – 1) = (√((x2+1)2))/(x2 + 1) – (√((x2-1)2))/(x2 – 1) = (x2+1)/(x2 + 1) – (x2-1)/(x2 – 1) = 1 – 1 = 0 (vì x > 1)
Hình ảnh bài tập tự luyện rút gọn biểu thức E với điều kiện của x.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, bạn sẽ nắm vững phương pháp rút gọn biểu thức A chứa căn bậc hai và tự tin giải quyết mọi bài toán. Chúc bạn thành công!
