Quy Tắc Ba điểm là một công cụ mạnh mẽ và cơ bản trong hình học vectơ, giúp đơn giản hóa các bài toán liên quan đến vectơ. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả.
1. Công thức quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành
-
Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm bất kỳ M, N, P, ta luôn có đẳng thức vectơ: $overrightarrow{MN} + overrightarrow{NP} = overrightarrow{MP}$. Quy tắc này cho phép ta phân tích hoặc tổng hợp vectơ một cách linh hoạt.
-
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là một hình bình hành, thì tổng hai vectơ cạnh kề nhau bằng vectơ đường chéo: $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} = overrightarrow{AC}$. Quy tắc này thường được sử dụng để tìm hợp lực trong vật lý hoặc giải các bài toán hình học phẳng.
2. Ví dụ minh họa quy tắc ba điểm
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng $overrightarrow{FE} + overrightarrow{FD} = overrightarrow{FC}$.
Hướng dẫn giải:
- Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra EF song song và bằng một nửa BC. Do đó, EF // CD và EF = CD. Tứ giác EFDC là hình bình hành.
- Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình bình hành EFDC, ta có: $overrightarrow{FE} + overrightarrow{FD} = overrightarrow{FC}$ (điều phải chứng minh).
Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh rằng:
a) $overrightarrow{AB} + overrightarrow{CD} = overrightarrow{AD} + overrightarrow{CB}$;
b) $overrightarrow{AB} – overrightarrow{CD} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{DB}$.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng quy tắc ba điểm:
a) $overrightarrow{AB} + overrightarrow{CD} = overrightarrow{AD} + overrightarrow{DB} + overrightarrow{CB} + overrightarrow{BD} = overrightarrow{AD} + overrightarrow{CB} + (overrightarrow{DB} + overrightarrow{BD}) = overrightarrow{AD} + overrightarrow{CB} + overrightarrow{0} = overrightarrow{AD} + overrightarrow{CB}$.
b) $overrightarrow{AB} – overrightarrow{CD} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{CB} + overrightarrow{DC} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{CB} + overrightarrow{DB} + overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{DB} + (overrightarrow{CB} + overrightarrow{BC}) = overrightarrow{AC} + overrightarrow{DB} + overrightarrow{0} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{DB}$.
Ví dụ 3: Cho hình thang vuông ABCD có đáy AB và CD, với DC = 2AD = 2AB = 2a. Tính độ dài của vectơ $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD}$.
Hướng dẫn giải:
-
Gọi M là trung điểm của DC, suy ra DM = MC = a.
-
Do AB = AD = DM = a và $angle DAB = angle ADC = 90^circ$, nên ABMD là hình vuông cạnh a.
-
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} = overrightarrow{AM}$.
-
$|overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD}| = |overrightarrow{AM}| = AM = sqrt{DM^2 + AD^2} = sqrt{a^2 + a^2} = asqrt{2}$.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. Tìm vectơ $overrightarrow{HA} + overrightarrow{HB}$.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh $overrightarrow{AM} = overrightarrow{NC}$, $overrightarrow{DK} = overrightarrow{NI}$ và tính $overrightarrow{MI} + overrightarrow{MK}$.
Bài 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $overrightarrow{CD} + overrightarrow{BC} + overrightarrow{AB} = overrightarrow{AD}$;
b) $overrightarrow{AB} + overrightarrow{CD} + overrightarrow{BC} + overrightarrow{DA} = overrightarrow{0}$;
c) $overrightarrow{BC} + overrightarrow{AB} = overrightarrow{DC} + overrightarrow{AD}$.
Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD có đáy AD và BC, với AD = 2BC = 2a. Tính độ dài của vectơ $overrightarrow{BA} + overrightarrow{BC}$.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tìm vectơ $overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB}$ và $overrightarrow{OA} + overrightarrow{OD}$.
Bằng cách nắm vững quy tắc ba điểm và luyện tập các bài tập, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán vectơ phức tạp. Chúc bạn thành công!
