1. Đường Vuông Góc, Đường Xiên và Hình Chiếu
Trong hình học, khi nói về quan hệ giữa một điểm và một đường thẳng, ta thường nhắc đến khái niệm đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu. Các khái niệm này là nền tảng để hiểu rõ hơn về các định lý và bài toán liên quan.
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Kẻ một đường thẳng từ A vuông góc với d tại H. Khi đó:
- Đường vuông góc: Đoạn thẳng AH là đường vuông góc kẻ từ A đến d. Điểm H là chân đường vuông góc hay hình chiếu của A trên d.
- Đường xiên: Đoạn thẳng AB (với B là một điểm bất kỳ trên d khác H) là một đường xiên kẻ từ A đến d.
- Hình chiếu của đường xiên: Đoạn thẳng HB là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
2. Quan Hệ Về Độ Dài Giữa Đường Vuông Góc và Đường Xiên
Một trong những tính chất quan trọng nhất là: Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường vuông góc luôn là đường ngắn nhất.
Ví dụ: Cho AH ⊥ a, suy ra AH < AB (với B là một điểm bất kỳ khác H trên đường thẳng a).
3. So Sánh Các Đường Xiên và Hình Chiếu Tương Ứng
Khi có nhiều đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta có các mối quan hệ sau:
- Hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn: Nếu AH ⊥ a và HD > HC thì AD > AC.
- Đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn: Nếu AH ⊥ a và AD > AC thì HD > HC.
- Đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hình chiếu bằng nhau: AB = AC ⇔ HB = HC.
4. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ với BC.
Lời giải:
Vì B’ và C’ lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC nên:
AC’ < AC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
AB’ < AB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Suy ra: B’C’ < BC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và CP là tia phân giác của góc C. Chứng minh rằng:
a) PA < PC
b) CP < CB
Lời giải:
a) Vì CP là tia phân giác của góc C, nên khoảng cách từ P đến AC bằng khoảng cách từ P đến BC. Gọi khoảng cách từ P đến BC là PK.
Ta có PA là đường vuông góc, PC là đường xiên từ P đến AC. Suy ra PA < PC.
b) PK là đường vuông góc, CB là đường xiên từ C đến đường thẳng qua P vuông góc với BC. Suy ra CP < CB.
5. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho ΔABC, kẻ AH ⊥ BC tại H. Chứng minh rằng:
a) AB > AH, AC > AH
b) Nếu BK, CL là đường cao hạ từ đỉnh B và C thì BK2
Lời giải:
a) Ta có: AH là đường vuông góc, AB, AC là các đường xiên. Do đó, AB > AH và AC > AH (Quan Hệ Giữa đường Vuông Góc Và đường Xiên).
Hay AH
Hay AH
b) Chứng minh tương tự câu a, ta được BK, CL là đường cao hạ từ đỉnh B và C.
Ta có:
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC. Trên cạnh huyền BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH. Chứng minh rằng DE ⊥ AC ⇒ BC + AH > AC + AB.
Lời giải:
Các bài tập tự luyện và hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp bạn nắm vững hơn về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. Việc hiểu rõ lý thuyết và áp dụng vào giải bài tập là chìa khóa để thành công trong môn hình học lớp 7.
