Vectơ Pháp Tuyến và Phương Trình Tổng Quát của Mặt Phẳng
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng là một trong những khái niệm quan trọng của hình học giải tích. Để hiểu rõ về phương trình mặt phẳng, ta cần nắm vững khái niệm vectơ pháp tuyến (VTPT).
-
Định nghĩa: Vectơ $overrightarrow{n} neq overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(alpha)$ nếu giá của $overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(alpha)$.
-
Lưu ý:
- Nếu $overrightarrow{n}$ là một VTPT của mặt phẳng $(alpha)$ thì $koverrightarrow{n}$ (với $k neq 0$) cũng là một VTPT của mặt phẳng $(alpha)$.
- Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà nó đi qua và một VTPT của nó.
- Nếu $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(alpha)$ thì $overrightarrow{n} = [overrightarrow{u}, overrightarrow{v}]$ là một VTPT của $(alpha)$.
-
Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 neq 0$.
- Nếu mặt phẳng $(alpha)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một VTPT là $overrightarrow{n}(A; B; C)$.
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ $overrightarrow{n}(A; B; C) neq overrightarrow{0}$ là VTPT là: $A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$.
Các Trường Hợp Đặc Biệt của Phương Trình Mặt Phẳng
Xét phương trình mặt phẳng $(alpha)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 neq 0$:
- Nếu $D = 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ đi qua gốc tọa độ $O$.
Alt text: Hình ảnh minh họa mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, biểu diễn trực quan phương trình mặt phẳng dạng Ax + By + Cz = 0 trong không gian tọa độ Oxyz.
- Nếu $A = 0, B neq 0, C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục $Ox$.
- Nếu $A neq 0, B = 0, C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục $Oy$.
- Nếu $A neq 0, B neq 0, C = 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục $Oz$.
Alt text: Biểu diễn mặt phẳng song song với trục Ox, phương trình By + Cz + D = 0, minh họa vị trí tương đối trong hệ tọa độ Oxyz.
- Nếu $A = B = 0, C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oxy)$.
- Nếu $A = C = 0, B neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oxz)$.
- Nếu $B = C = 0, A neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oyz)$.
Alt text: Hình ảnh thể hiện mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy, phương trình Cz + D = 0, trong không gian ba chiều Oxyz.
Lưu ý: Nếu trong phương trình $(alpha)$ không chứa ẩn nào thì $(alpha)$ song song hoặc chứa trục tương ứng.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $(alpha): frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1$. Ở đây $(alpha)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm $(a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)$ với $abc neq 0$.
Alt text: Minh họa mặt phẳng cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại các điểm a, b, c, thể hiện phương trình mặt phẳng đoạn chắn x/a + y/b + z/c = 1.
Khoảng Cách từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng
Trong không gian Oxyz, cho điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và mặt phẳng $(alpha)$: $Ax + By + Cz + D = 0$. Khi đó, khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(alpha)$ được tính bởi công thức:
$d(M_0, (alpha)) = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Alt text: Công thức toán học biểu diễn cách tính khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng Alpha, sử dụng phương trình mặt phẳng và tọa độ điểm.
Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(alpha)$: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ và $(beta)$: $A_2x + B_2y + C_2z + D2 = 0$. Góc giữa $(alpha)$ và $(beta)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $overrightarrow{n{alpha}}, overrightarrow{n_{beta}}$. Tức là:
$cos((alpha), (beta)) = frac{|overrightarrow{n{alpha}} . overrightarrow{n{beta}}|}{|overrightarrow{n{alpha}}| . |overrightarrow{n{beta}}|} = frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} . sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
Alt text: Công thức tính cosin góc giữa hai mặt phẳng Alpha và Beta dựa trên tích vô hướng và độ dài vectơ pháp tuyến của chúng trong không gian Oxyz.
Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Phương Trình Mặt Phẳng
Việc nắm vững lý thuyết về phương trình mặt phẳng là cần thiết, nhưng quan trọng hơn là khả năng áp dụng chúng vào giải các bài tập. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua 1 điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và song song với 1 mặt phẳng $(beta)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ cho trước.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng $Delta$.
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa đường thẳng $Delta$, vuông góc với mặt phẳng $(beta)$.
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $(beta)$.
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa đường thẳng $Delta$ và song song với $Delta’$ ($Delta$, $Delta’$ chéo nhau).
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa đường thẳng $Delta$ và 1 điểm M.
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa 2 đường thẳng cắt nhau $Delta$ và $Delta’$.
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa 2 đường thẳng song song $Delta$ và $Delta’$.
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng $Delta$ và $Delta’$ chéo nhau cho trước.
Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước.
Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ song song với mặt phẳng $(beta)$ và cách $(beta)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ một khoảng k cho trước.
Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ song song với mặt phẳng $(beta)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.
Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ tiếp xúc với mặt cầu (S).
Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa một đường thẳng $Delta$ và tạo với một mặt phẳng $(beta)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ cho trước một góc $varphi$ cho trước.
Alt text: Công thức tính góc giữa đường thẳng Delta và mặt phẳng Beta sử dụng vectơ chỉ phương và pháp tuyến, quan trọng trong hình học không gian.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập khác nhau sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng.
