Hiểu rõ về phương trình đường chuẩn parabol là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến parabol một cách dễ dàng và chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để nắm vững kiến thức quan trọng này.
1. Công thức tổng quan về Parabol và Đường Chuẩn
Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: y² = 2px (với p > 0). Trong đó:
- p là tham số tiêu của parabol.
- Đỉnh: I(0; 0) là gốc tọa độ.
- Tiêu điểm: F(p/2; 0) là điểm nằm trên trục Ox, cách đỉnh một đoạn p/2.
- Đường chuẩn: Δ: x = -p/2 là đường thẳng vuông góc với trục Ox và cách đỉnh một đoạn p/2 về phía ngược lại so với tiêu điểm.
Hình ảnh minh họa một parabol với các yếu tố quan trọng: tiêu điểm, đường chuẩn và đỉnh. Đường chuẩn nằm phía sau đỉnh, đối xứng với tiêu điểm qua đỉnh.
Ý nghĩa của đường chuẩn: Đường chuẩn là tập hợp các điểm cách đều tiêu điểm và một điểm bất kỳ trên parabol. Đây là một tính chất quan trọng giúp xác định hình dạng của parabol.
2. Ví dụ minh họa về phương trình đường chuẩn parabol
Ví dụ 1: Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x. Hãy xác định phương trình đường chuẩn của parabol này.
Giải:
So sánh với phương trình chính tắc y² = 2px, ta có 2p = 4 => p = 2.
Vậy, phương trình đường chuẩn của parabol (P) là: x = -p/2 = -2/2 = -1.
Ví dụ 2: Cho parabol (P) có tiêu điểm F(3; 0). Viết phương trình đường chuẩn của parabol này.
Giải:
Vì tiêu điểm F(3; 0) có tọa độ dạng (p/2; 0), suy ra p/2 = 3 => p = 6.
Vậy, phương trình đường chuẩn của parabol (P) là: x = -p/2 = -6/2 = -3.
Hình ảnh thể hiện mối quan hệ giữa parabol và đường chuẩn của nó. Đường chuẩn là một đường thẳng cố định, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hình dạng của parabol.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho parabol (P) có phương trình y² = 16x. Tìm phương trình đường chuẩn của (P).
Bài 2: Parabol (P) có tiêu điểm là F(1/2; 0). Viết phương trình đường chuẩn của (P).
Bài 3: Đường chuẩn của parabol (P) là đường thẳng x = -5. Xác định tọa độ tiêu điểm của (P).
Bài 4: Cho điểm M(4; 4) nằm trên parabol (P) có phương trình y² = 2px. Tìm phương trình đường chuẩn của (P).
Bài 5: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 8. Tìm phương trình đường chuẩn của parabol đó.
Lời giải và hướng dẫn giải:
(Bài 1): So sánh y² = 16x với y² = 2px, ta có 2p = 16 => p = 8. Vậy phương trình đường chuẩn là x = -p/2 = -4.
(Bài 2): Tiêu điểm F(1/2; 0) nên p/2 = 1/2 => p = 1. Vậy phương trình đường chuẩn là x = -p/2 = -1/2.
(Bài 3): Đường chuẩn x = -5, suy ra -p/2 = -5 => p = 10. Vậy tiêu điểm F(p/2; 0) = F(5; 0).
(Bài 4): M(4; 4) thuộc y² = 2px nên 4² = 2p * 4 => 16 = 8p => p = 2. Vậy phương trình đường chuẩn là x = -p/2 = -1.
(Bài 5): Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p = 8. Vậy phương trình parabol là y² = 2 8 x = 16x, và phương trình đường chuẩn là x = -8/2 = -4.
Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến parabol và phương trình đường chuẩn một cách hiệu quả. Chúc bạn thành công!
