Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương trình tổng quát của đường thẳng, một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về dạng tổng quát của phương trình, cách xác định các yếu tố cần thiết để viết phương trình, và các ví dụ minh họa kèm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
Dạng Phương Trình Tổng Quát của Đường Thẳng
Phương Trình Tổng Quát Có Dạng:
ax + by + c = 0
Trong đó:
- a, b, c là các hằng số thực và a, b không đồng thời bằng 0 (tức là a2 + b2 > 0).
- x, y là tọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng.
Lưu ý: Với mỗi đường thẳng, ta có vô số phương trình tổng quát khác nhau, nhưng chúng đều tỷ lệ với nhau. Ví dụ: x + y + 1 = 0 và 2x + 2y + 2 = 0 biểu diễn cùng một đường thẳng.
Cách Viết Phương Trình Tổng Quát của Đường Thẳng
Để viết phương trình tổng quát của một đường thẳng, chúng ta cần xác định hai yếu tố sau:
- Một điểm thuộc đường thẳng: Gọi điểm đó là A(x0; y0).
- Một vectơ pháp tuyến: Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với đường thẳng. Gọi vectơ pháp tuyến là n→(a; b).
Khi đó, phương trình tổng quát có dạng:
a(x – x0) + b(y – y0) = 0
Sau khi khai triển và rút gọn, ta sẽ được phương trình tổng quát của đường thẳng.
Các Trường Hợp Đặc Biệt
- Nếu a = 0: Phương trình trở thành by + c = 0, hay y = -c/b. Đây là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
- Nếu b = 0: Phương trình trở thành ax + c = 0, hay x = -c/a. Đây là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy.
- Nếu c = 0: Phương trình trở thành ax + by = 0. Đây là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(2; -1) và có vectơ pháp tuyến n→(3; -2).
Giải:
Áp dụng công thức, ta có phương trình:
3(x – 2) – 2(y + 1) = 0
Khai triển và rút gọn:
3x – 6 – 2y – 2 = 0
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là:
3x – 2y – 8 = 0
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 2) và B(3; -1). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
Giải:
Đầu tiên, ta tìm vectơ chỉ phương AB→ = (3 – 1; -1 – 2) = (2; -3).
Sau đó, tìm vectơ pháp tuyến n→ của đường thẳng AB. Vì vectơ pháp tuyến vuông góc với vectơ chỉ phương, ta có thể chọn n→ = (3; 2).
Cuối cùng, sử dụng điểm A(1; 2) và vectơ pháp tuyến n→ = (3; 2) để viết phương trình:
3(x – 1) + 2(y – 2) = 0
Khai triển và rút gọn:
3x – 3 + 2y – 4 = 0
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
3x + 2y – 7 = 0
Ứng Dụng của Phương Trình Tổng Quát
Phương trình tổng quát có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học, bao gồm:
- Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng song song, cắt nhau hay trùng nhau.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước (ví dụ: đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác).
- Giải các bài toán liên quan đến diện tích tam giác, hình bình hành,…
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(-3; 4) và song song với đường thẳng 2x – y + 5 = 0.
Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm A(1; -2) đến đường thẳng 3x + 4y – 1 = 0.
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(2; 3), C(4; -1). Viết phương trình đường cao AH của tam giác.
Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập các bài tập, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình tổng quát của đường thẳng.
Hình ảnh minh họa phương trình tổng quát của đường thẳng với vectơ pháp tuyến và điểm thuộc đường thẳng, giúp học sinh dễ hình dung và hiểu rõ hơn về khái niệm.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình
A. x – 2y – 3 = 0 B. x – 2y + 5 = 0 C. x – 2y +3 = 0 D. x + 2y + 1 = 0
Lời giải
Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x – 2y + c = 0 (c ≠ 1)
Ta lại có M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 – 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3
Vậy phương trình ∆: x – 2y – 3 = 0
Chọn A
Hình ảnh đồ thị hai đường thẳng song song thể hiện mối quan hệ giữa các hệ số trong phương trình tổng quát và tính chất song song của đường thẳng.
Ví dụ 4: Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình
A. 3x – 4y + 8 = 0 B. 3x – 4y – 11 = 0 C. -6x + 8y + 11 = 0 D. 8x + 6y + 13 = 0
Lời giải
Ta có BC→ = (-6; 8)
Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC
⇒ AA’ nhận VTPT n→ = BC→ = (-6; 8) và qua A(1; -2)
Suy ra phương trình AA’: -6(x – 1) + 8(y + 2) = 0
Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x – 4y – 11 = 0.
Chọn B
Hình ảnh tam giác ABC minh họa đường cao AA’ giúp học sinh hình dung và liên hệ kiến thức về phương trình đường thẳng với các bài toán hình học.
Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y – 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y – 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x – y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ?
A. x – 3y + 1 = 0 B. x + 4y – 5 = 0 C. x + 2y – 3 =0 D. 2x – y + 1 = 0
Lời giải
+ Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :
⇒ P( 1 ; 1)
+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :
⇒ B( 0 ;2)
Tương tự ta tìm được tọa độ C(- ; )
+ Đường thẳng AP :
⇒ Phương trình đường thẳng AP :
1(x – 1) + 2(y – 1) = 0 ⇔ x + 2y – 3 = 0
Chọn C.
Hình ảnh tam giác ABC với ba đường cao, giúp học sinh hiểu cách xác định giao điểm của các đường cao và viết phương trình đường thẳng.
Ví dụ 11. Cho ba đường thẳng (a):3x – 2y + 5 = 0; (b): 2x + 4y – 7 = 0 và
(c): 3x + 4y – 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b , và song song với c là:
A. 24x + 32y – 53 = 0. B. 23x + 32y + 53 = 0 C. 24x – 33y + 12 = 0. D. Đáp án khác
Lời giải
Giao điểm của (a) và ( b) nếu có là nghiệm hệ phương trình :
⇒ A( ; )
Ta có đường thẳng d // c nên đường thẳng d có dạng: 3x+ 4y+ c= 0 (c≠-1)
Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3. + 4. + c = 0 ⇔ c=
Vậy d: 3x + 4y + = 0 ⇔ d3 = 24x + 32y – 53 = 0
Chọn A.
