Phương trình tiếp tuyến là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình giải tích lớp 11 và có nhiều ứng dụng trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. Đặc biệt, dạng bài “Phương Trình Tiếp Tuyến Vuông Góc Với đường Thẳng” thường gây khó khăn cho nhiều học sinh. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn tự tin chinh phục dạng toán này.
Phương Pháp Giải Tổng Quát
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b, ta thực hiện các bước sau:
-
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến: Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b, nên hệ số góc k của tiếp tuyến thỏa mãn: k * a = -1, suy ra k = -1/a.
-
Tìm hoành độ tiếp điểm: Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm. Khi đó, f'(x₀) = k. Giải phương trình này để tìm x₀.
-
Tìm tung độ tiếp điểm: Tính y₀ = f(x₀).
-
Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến có dạng y = k(x – x₀) + y₀. Thay các giá trị k, x₀, y₀ vừa tìm được vào để có phương trình cụ thể.
Hình ảnh minh họa khái niệm tiếp tuyến và cách xác định hệ số góc từ đạo hàm, nhấn mạnh mối quan hệ vuông góc với đường thẳng cho trước.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x⁴ – x² + 6 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = (1/6)x – 1.
Giải:
-
Hệ số góc của tiếp tuyến: Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x – 1, nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = -6.
-
Tìm hoành độ tiếp điểm:
- Tính đạo hàm: y’ = -4x³ – 2x
- Giải phương trình: y'(x₀) = -6 ⇔ -4x₀³ – 2x₀ = -6 ⇔ 2x₀³ + x₀ – 3 = 0 ⇔ (x₀ – 1)(2x₀² + 2x₀ + 3) = 0. Phương trình 2x₀² + 2x₀ + 3 = 0 vô nghiệm, vậy x₀ = 1.
-
Tìm tung độ tiếp điểm: y₀ = f(1) = -1⁴ – 1² + 6 = 4.
-
Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến là y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (x + 3) / (x – 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2.
Giải:
-
Hệ số góc của tiếp tuyến: Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2, nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = -3.
-
Tìm hoành độ tiếp điểm:
- Tìm tập xác định: D = R {1}.
- Tính đạo hàm: y’ = -4 / (x – 1)²
- Giải phương trình: y'(x₀) = -3 ⇔ -4 / (x₀ – 1)² = -3 ⇔ (x₀ – 1)² = 4/3 ⇔ x₀ = 1 ± 2√3 / 3
-
Tìm tung độ tiếp điểm:
- Với x₀ = 1 + 2√3 / 3 => y₀ = f(1 + 2√3 / 3) = (8√3 + 15) / (2√3)
- Với x₀ = 1 – 2√3 / 3 => y₀ = f(1 – 2√3 / 3) = (-8√3 + 15) / (-2√3)
-
Viết phương trình tiếp tuyến:
- Với x₀ = 1 + 2√3 / 3, phương trình tiếp tuyến là: y = -3[x – (1 + 2√3 / 3)] + (8√3 + 15) / (2√3)
- Với x₀ = 1 – 2√3 / 3, phương trình tiếp tuyến là: y = -3[x – (1 – 2√3 / 3)] + (-8√3 + 15) / (-2√3)
Hình ảnh đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ, thể hiện tiếp tuyến tại một điểm và đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến đó.
Bài Tập Vận Dụng
-
Cho hàm số y = x³ – 3x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/9)x + 2017.
-
Cho hàm số y = (2x + 1) / (x – 1). Tìm các điểm trên đồ thị hàm số mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -3x + 5.
-
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x⁴ – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = -1 vuông góc với đường thẳng d: y = 2x – 3.
Lưu Ý Quan Trọng
- Điều kiện tồn tại tiếp tuyến: Hàm số phải có đạo hàm tại tiếp điểm.
- Kiểm tra nghiệm: Sau khi giải phương trình f'(x₀) = k, cần kiểm tra lại xem nghiệm x₀ có thuộc tập xác định của hàm số hay không.
- Tính toán cẩn thận: Việc tính toán đạo hàm và giải phương trình cần được thực hiện cẩn thận để tránh sai sót.
Mẹo Làm Bài Nhanh
- Nhớ công thức: Nắm vững công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp.
- Sử dụng máy tính: Sử dụng máy tính để giải phương trình bậc cao hoặc tính toán các biểu thức phức tạp.
- Vẽ hình minh họa: Vẽ hình minh họa giúp bạn hình dung bài toán và tìm ra hướng giải nhanh hơn.
Hi vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững phương pháp giải bài toán “phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng” và đạt kết quả cao trong học tập. Chúc bạn thành công!
