Phương Trình Tiếp Tuyến là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đặc biệt khi nghiên cứu về đạo hàm và ứng dụng của nó. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ về phương trình tiếp tuyến, từ cơ sở lý thuyết đến các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết, giúp bạn nắm vững và áp dụng hiệu quả.
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm và phương trình tiếp tuyến
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀, f(x₀)).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ có dạng:
y – y₀ = f'(x₀)(x – x₀)
Trong đó, hình ảnh minh họa công thức tổng quát để viết phương trình tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm xác định.
2. Các dạng bài toán thường gặp về phương trình tiếp tuyến
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀, f(x₀)).
- Bước 1: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x).
- Bước 2: Tính f'(x₀), là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x₀.
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến: y – y₀ = f'(x₀)(x – x₀).
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hoành độ tiếp điểm x = x₀.
- Bước 1: Tính y₀ = f(x₀), là tung độ của tiếp điểm.
- Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
- Bước 3: Tính f'(x₀).
- Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến: y – y₀ = f'(x₀)(x – x₀).
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết tung độ tiếp điểm y = y₀.
- Bước 1: Gọi M(x₀, y₀) là tiếp điểm.
- Bước 2: Giải phương trình f(x) = y₀ để tìm các nghiệm x₀.
- Bước 3: Tính đạo hàm f'(x).
- Bước 4: Tính f'(x₀) ứng với mỗi nghiệm x₀.
- Bước 5: Viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 2x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0; 1).
- Giải:
- Đạo hàm: y’ = 3x² – 2.
- y'(0) = -2.
- Phương trình tiếp tuyến: y – 1 = -2(x – 0) hay y = -2x + 1.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x² + 2x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.
- Giải:
- y(1) = 1² + 2.1 – 6 = -3.
- Đạo hàm: y'(x) = 2x + 2.
- y'(1) = 2.1 + 2 = 4.
- Phương trình tiếp tuyến: y + 3 = 4(x – 1) hay y = 4x – 7.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y = 2.
- Giải:
- Giải phương trình: x³ + 4x + 2 = 2 ⇔ x³ + 4x = 0 ⇔ x = 0.
- Đạo hàm: y’ = 3x² + 4.
- y'(0) = 4.
- Phương trình tiếp tuyến: y – 2 = 4(x – 0) hay y = 4x + 2.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = -x³ + 2x² + 2x + 1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A.
- Giải:
- Điểm A là giao điểm với trục tung nên A(0; 1).
- Đạo hàm: y’ = -3x² + 4x + 2.
- y'(0) = 2.
- Phương trình tiếp tuyến: y – 1 = 2(x – 0) hay y = 2x + 1.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x² – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
- Giải:
- Giao điểm với trục hoành: x² – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại A(1; 0) và B(2; 0).
- Đạo hàm: y’ = 2x – 3.
- Tại A(1; 0): y'(1) = -1. Phương trình tiếp tuyến: y – 0 = -1(x – 1) hay y = -x + 1.
- Tại B(2; 0): y'(2) = 1. Phương trình tiếp tuyến: y – 0 = 1(x – 2) hay y = x – 2.
Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng. Cho hàm số y = x² + 4x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.
Hướng dẫn giải chi tiết bằng hình ảnh phương pháp giải hệ phương trình để tìm ra giao điểm cần thiết cho việc viết phương trình tiếp tuyến.
- Giải:
- Giao điểm A là nghiệm của hệ: Vậy A(1; 1).
- Đạo hàm: y’ = 2x + 4.
- y'(1) = 6.
- Phương trình tiếp tuyến: y – 1 = 6(x – 1) hay y = 6x – 5.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x⁴ + 2x² + 1 có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?
- Giải:
- Đạo hàm: y’ = 4x³ + 4x.
- Hoành độ nguyên dương nhỏ nhất là x = 1.
- y'(1) = 8 và y(1) = 4.
- Phương trình tiếp tuyến: y – 4 = 8(x – 1) hay y = 8x – 4.
- Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 8x.
Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x – 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
- Giải:
- x₀ = 2 ⇒ y₀ = 0.
- y = (x – 1)²(x – 2) = (x² – 2x + 1)(x – 2) = x³ – 4x² + 5x – 2.
- Đạo hàm: y’ = 3x² – 8x + 5.
- y'(2) = 1.
- Phương trình tiếp tuyến: y – 0 = 1(x – 2) hay y = x – 2.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = (x – 2) / (2x + 1). Phương trình tiếp tuyến tại A(-1; 3) là:
Hình ảnh cung cấp công thức đạo hàm của hàm phân thức, công cụ quan trọng để tìm hệ số góc của tiếp tuyến.
- Giải:
- Đạo hàm: y’ = 5 / (2x + 1)².
- y'(-1) = 5.
- Phương trình tiếp tuyến: y – 3 = 5(x + 1) hay y = 5x + 8.
Ví dụ 10: Cho hàm số y = (2x + m + 1) / (x – 1) (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x₀ = 0 đi qua A(4; 3).
Hình ảnh minh họa cách thiết lập phương trình tiếp tuyến dựa trên đạo hàm và điểm tiếp xúc, sau đó sử dụng điều kiện đi qua một điểm để tìm tham số.
Tiếp tục giải thích các bước biến đổi đại số để tìm ra giá trị của tham số m, đảm bảo tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài.
- Giải:
- x₀ = 0 ⇒ y₀ = -m – 1.
- Đạo hàm: y’ = (-2 – m – 1) / (x – 1)² = (-m – 3) / (x – 1)².
- y'(0) = -m – 3.
- Phương trình tiếp tuyến: y + m + 1 = (-m – 3)(x – 0).
- Tiếp tuyến đi qua A(4; 3): 3 + m + 1 = (-m – 3)(4 – 0) ⇔ m = -2.
Ví dụ 11: Cho hàm số y = (1/3)x³ + x² – 2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y” = 0 là:
Hình ảnh này tóm tắt quá trình tìm điểm uốn bằng đạo hàm cấp hai và cách viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó.
- Giải:
- y’ = x² + 2x và y” = 2x + 2.
- y” = 0 ⇔ 2x + 2 = 0 ⇔ x₀ = -1.
- y'(-1) = -1.
- Phương trình tiếp tuyến tại A(-1; -4/3): y = -1(x + 1) – 4/3 hay y = -x – 7/3.
4. Bài tập vận dụng
Câu 1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x² + 4x – 2. Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:
Câu 2: Đồ thị (C) của hàm số y = (x² – 2) / (x + 2) cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:
Câu 3: Cho hàm số y = (2 – 2x) / (x + 1) có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:
Câu 4: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x⁴ – 2x² + 1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm của (C) với hai trục toạ độ?
Câu 5: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = 2x³ – 3x + 1 tại giao điểm của (H) với đường thẳng d: y = -x + 1.
Câu 6: Cho hàm số: y = x³ – (m – 1)x² + (3m + 1)x + m – 2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm (2; -1).
Câu 7: Gọi (C) là đồ thị của hàm số: y = (x – 1) / (x – 3). Gọi M là một điểm thuộc (C) và có khoảng cách đến trục hoành là 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M.
Câu 8: Cho hàm số y = (x – 2) / (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp điểm M có tung độ bằng 4.
- Giải:
Hướng dẫn từng bước tìm phương trình tiếp tuyến khi biết tung độ của tiếp điểm, bao gồm việc giải phương trình để tìm hoành độ và áp dụng công thức đạo hàm.
Câu 9: Cho hàm số y = x³ + x² + x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm số biết tung độ điểm M bằng 1.
- Giải:
Hình ảnh này minh họa cách tìm phương trình tiếp tuyến thông qua việc xác định hệ số góc và sử dụng thông tin về tung độ của tiếp điểm.
Câu 10: Cho hàm số: y = √(1 – x – x²) có đồ thị (C). Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x₀ = 1/2.
- Giải:
Hướng dẫn chi tiết cách tính đạo hàm của hàm căn thức và áp dụng để viết phương trình tiếp tuyến, giúp người đọc dễ dàng theo dõi và áp dụng.
5. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số y = x² + 3x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 2?
Bài 2. Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 1?
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = -4x³ + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2).
Bài 4. Cho hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x² + 4x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x – 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 5.
Bài viết này đã trình bày một cách chi tiết về phương trình tiếp tuyến, từ lý thuyết cơ bản đến các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng. Hy vọng rằng, với hướng dẫn này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến. Chúc bạn học tốt!
