Phương Trình Sinx=1/2: Điều Kiện Có Nghiệm và Cách Giải Chi Tiết

Bài viết này sẽ đi sâu vào phương trình lượng giác cơ bản sinx = 1/2, bao gồm điều kiện để phương trình có nghiệm, các nghiệm cụ thể và các bài tập vận dụng liên quan.

A. Điều kiện để phương trình sinx = 1/2 có nghiệm

Phương trình sinx = a có nghiệm khi và chỉ khi |a| ≤ 1. Trong trường hợp này, a = 1/2, thỏa mãn điều kiện -1 ≤ 1/2 ≤ 1. Vậy, phương trình sinx = 1/2 chắc chắn có nghiệm.

B. Nghiệm của phương trình sinx = 1/2

Để tìm nghiệm của phương trình sinx = 1/2, ta sử dụng đường tròn lượng giác hoặc các công thức nghiệm cơ bản.

1. Sử dụng đường tròn lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, giá trị sin tương ứng với tung độ của điểm trên đường tròn. Ta tìm các điểm trên đường tròn có tung độ bằng 1/2.

Alt text: Đường tròn lượng giác với các điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sinx=1/2, nhấn mạnh góc pi/6 và 5pi/6.

2. Sử dụng công thức nghiệm

Phương trình sinx = sinα có nghiệm là:

• x = α + k2π
• x = π - α + k2π

Trong đó, k ∈ Z (k là số nguyên).

Với phương trình sinx = 1/2, ta biết sin(π/6) = 1/2. Vậy, α = π/6.

Do đó, nghiệm của phương trình sinx = 1/2 là:

• x = π/6 + k2π
• x = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π

Vậy, phương trình sinx = 1/2 có hai họ nghiệm là x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π, với k là một số nguyên bất kỳ.

C. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình sinx = 1/2 trong khoảng [0; 2π].

Lời giải:

• x = π/6 + k2π. Trong khoảng [0; 2π], ta có k = 0 => x = π/6.
• x = 5π/6 + k2π. Trong khoảng [0; 2π], ta có k = 0 => x = 5π/6.

Vậy, nghiệm của phương trình trong khoảng [0; 2π] là x = π/6 và x = 5π/6.

Ví dụ 2: Giải phương trình 2sinx - 1 = 0.

Lời giải:

2sinx - 1 = 0 <=> 2sinx = 1 <=> sinx = 1/2.

Vậy, nghiệm của phương trình là x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π, với k ∈ Z.

Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sinx = 1/2 thỏa mãn điều kiện π < x < 3π/2.

Lời giải:

• x = π/6 + k2π. Để π < π/6 + k2π < 3π/2, ta có k = 1 => x = π/6 + 2π = 13π/6 (không thỏa mãn).
• x = 5π/6 + k2π. Để π < 5π/6 + k2π < 3π/2, ta có k = 0 => x = 5π/6 (không thỏa mãn), và không có giá trị k nào khác thỏa mãn.

Vậy, không có nghiệm nào của phương trình thỏa mãn điều kiện π < x < 3π/2.

D. Các dạng bài tập nâng cao về phương trình sinx = 1/2 và điều kiện có nghiệm

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc khoảng cho trước.

Ví dụ: Tìm m để phương trình sinx = m có nghiệm thuộc khoảng (π/4; π/2).

Lời giải:

Để phương trình sinx = m có nghiệm thuộc khoảng (π/4; π/2), ta cần sin(π/4) < m < sin(π/2) <=> √2/2 < m < 1.

Dạng 2: Ứng dụng phương trình sinx = 1/2 trong giải các bài toán khác.

Ví dụ: Giải phương trình cos2x + sinx = 0.

Lời giải:

cos2x + sinx = 0 <=> 1 - 2sin^2(x) + sinx = 0 <=> 2sin^2(x) - sinx - 1 = 0.

Đặt t = sinx, ta có 2t^2 - t - 1 = 0. Giải phương trình bậc hai này, ta được t = 1 hoặc t = -1/2.

• sinx = 1 <=> x = π/2 + k2π.
• sinx = -1/2 <=> x = -π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π.

Alt text: Đồ thị hàm số sin(x) với các đường ngang y=1/2 và y=-1/2, thể hiện trực quan các nghiệm của phương trình.

E. Bài tập tự luyện

1. Giải phương trình sinx = 1/2 trong khoảng [-π; π].
2. Tìm m để phương trình sinx = m - 1 có nghiệm.
3. Giải phương trình sin^2(x) - sinx = 0.
4. Tìm nghiệm của phương trình 2sinx + √3 = 0 trong khoảng (0; π).
5. Giải phương trình 4sin^2(x) - 1 = 0.

Bài viết này đã cung cấp đầy đủ kiến thức về phương trình sinx = 1/2, bao gồm điều kiện có nghiệm, cách giải và các bài tập vận dụng. Hy vọng bạn đọc có thể áp dụng những kiến thức này để giải quyết các bài toán lượng giác một cách hiệu quả.