Site icon donghochetac

Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm: Hướng Dẫn Chi Tiết & Bài Tập Áp Dụng

donghochetacdh

Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa cụ thể về cách viết Phương Trình Mặt Phẳng đi Qua 3 điểm trong không gian Oxyz. Đây là một dạng bài tập quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong phần hình học không gian và thường xuất hiện trong các kỳ thi.

Phương Pháp Xác Định Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Ba Điểm

Để viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, và C không thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau:

  1. Tìm tọa độ các vector AB và AC: Tính AB→ = B - A và AC→ = C - A.

  2. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (P): Vector pháp tuyến n→ của mặt phẳng (P) chính là tích có hướng của hai vector AB→ và AC→, tức là n→ = [AB→, AC→].

  3. Xác định một điểm thuộc mặt phẳng: Chọn một trong ba điểm A, B, hoặc C. Điểm này sẽ được sử dụng trong phương trình mặt phẳng.

  4. Viết phương trình mặt phẳng: Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vector pháp tuyến: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, trong đó n→ = (A; B; C) là vector pháp tuyến và (x₀; y₀; z₀) là tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng (chẳng hạn, điểm A).

Lưu ý quan trọng:

  • Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng, bạn sẽ không thể xác định một mặt phẳng duy nhất đi qua chúng.
  • Thứ tự của các vector trong tích có hướng ảnh hưởng đến hướng của vector pháp tuyến, nhưng không ảnh hưởng đến phương trình mặt phẳng (vì bạn có thể nhân cả hai vế của phương trình với -1).

Các Dạng Toán Thường Gặp và Ví Dụ Minh Họa

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp liên quan đến phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm và cách giải chi tiết:

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2).

Lời giải:

Alt: Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C trên hệ trục tọa độ Oxyz.

  1. Tính AB→ = (0; 3; 1) và AC→ = (-1; 3; -2).

  2. Tính n→ = [AB→, AC→] = (-9; -1; 3).

  3. Chọn điểm A(1; -2; 0) thuộc mặt phẳng.

  4. Viết phương trình mặt phẳng: -9(x - 1) - 1(y + 2) + 3(z - 0) = 0 => -9x - y + 3z + 7 = 0 hoặc 9x + y - 3z - 7 = 0.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) cắt ba trục tọa độ tại A(2; 0; 0), B(0; -3; 0), và C(0; 0; 4). Tìm phương trình của mặt phẳng (α).

Lời giải:

Cách 1: Sử dụng vector pháp tuyến

  1. Tính AB→ = (-2; -3; 0) và AC→ = (-2; 0; 4).

  2. Tính n→ = [AB→, AC→] = (-12; 8; -6). Có thể rút gọn thành n→ = (6; -4; 3).

  3. Chọn điểm A(2; 0; 0) thuộc mặt phẳng.

  4. Viết phương trình mặt phẳng: 6(x - 2) - 4(y - 0) + 3(z - 0) = 0 => 6x - 4y + 3z - 12 = 0.

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có dạng: x/a + y/b + z/c = 1, trong đó a, b, c là giao điểm của mặt phẳng với các trục Ox, Oy, Oz.

Trong trường hợp này, a = 2, b = -3, c = 4. Vậy phương trình mặt phẳng là: x/2 + y/(-3) + z/4 = 1 => 6x - 4y + 3z - 12 = 0.

Alt: Hình ảnh minh họa mặt phẳng cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5; 4; 3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).

Lời giải:

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a) với OA = OB = OC = a.

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1.

Vì M(5; 4; 3) thuộc (P), ta có: 5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 => x + y + z - 12 = 0.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là gì?

Lời giải:

  1. Tính AB→ = (-4; 5; -1) và CD→ = (-1; 0; 2).

  2. Tính n→ = [AB→, CD→] = (10; 9; 5). Vì (P) song song với CD, vector pháp tuyến của (P) vuông góc với CD.

  3. Chọn điểm A(5; 1; 3) thuộc mặt phẳng.

  4. Viết phương trình mặt phẳng: 10(x - 5) + 9(y - 1) + 5(z - 3) = 0 => 10x + 9y + 5z - 74 = 0.

Alt: Mô tả hình học về mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với đường thẳng CD trong không gian Oxyz.

Bài Tập Tự Luyện

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

Bài 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; -2; 0), N(1; 1; 1) và P(0; 1; -2).

Bài 2. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) cắt ba trục tọa độ tại A(1; 0; 1), B(1; -3; 0), C(0; 1; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3; 4; 5) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 4), B(2; 7; 9), C(0; 9; 13).

Bài 5. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M(1; 3; 2), N(5; 2; 4), P(2; -6; -1) có dạng Ax + By + Cz + D = 0. Tính tổng S = A + B + C + D.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và kỹ năng để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm. Chúc bạn học tốt!

Exit mobile version