Phương trình mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt trong chương trình Toán lớp 12 và ứng dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến tọa độ không gian Oxyz. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết phương trình mặt phẳng, các dạng thường gặp và kỹ năng giải bài tập liên quan, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
I. Vectơ Pháp Tuyến của Mặt Phẳng
Một vectơ $vec{n} neq vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng $(alpha)$ nếu giá của $vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(alpha)$.
Lưu ý:
- Nếu $vec{n}$ là một VTPT của mặt phẳng $(alpha)$ thì $kvec{n}$ (với $k neq 0$) cũng là một VTPT của mặt phẳng $(alpha)$.
- Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà nó đi qua và một VTPT của nó.
- Nếu $vec{u}$ và $vec{v}$ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(alpha)$ thì $vec{n} = [vec{u}, vec{v}]$ là một VTPT của $(alpha)$.
II. Phương Trình Tổng Quát của Mặt Phẳng
Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình tổng quát:
$Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 neq 0$
Trong đó:
- A, B, C là các hệ số, không đồng thời bằng 0.
- x, y, z là tọa độ của điểm nằm trên mặt phẳng.
- D là hằng số.
Nếu mặt phẳng $(alpha)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một VTPT là $vec{n}(A; B; C)$.
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ $vec{n}(A; B; C)$ khác $vec{0}$ là VTPT là:
$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$
III. Các Trường Hợp Đặc Biệt của Phương Trình Mặt Phẳng
Xét phương trình mặt phẳng $(alpha)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 neq 0$
- Nếu $D = 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ đi qua gốc tọa độ O.
Alt text: Mặt phẳng Ax + By + Cz = 0 đi qua gốc tọa độ O trong không gian Oxyz.
- Nếu $A = 0, B neq 0, C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục Ox.
- Nếu $A neq 0, B = 0, C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục Oy.
- Nếu $A neq 0, B neq 0, C = 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục Oz.
Alt text: Hình ảnh minh họa các mặt phẳng song song hoặc chứa các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
- Nếu $A = B = 0, C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy).
- Nếu $A = C = 0, B neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxz).
- Nếu $B = C = 0, A neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oyz).
Alt text: Các mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy, Oxz và Oyz trong hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
- Nếu trong phương trình $(alpha)$ không chứa ẩn nào thì $(alpha)$ song song hoặc chứa trục tương ứng.
- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $(alpha)$: $frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1$. Ở đây $(alpha)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm $(a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)$ với $abc neq 0$.
Alt text: Mặt phẳng (α) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A(a,0,0), B(0,b,0) và C(0,0,c) minh họa phương trình đoạn chắn.
IV. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng
Trong không gian Oxyz, cho điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và mặt phẳng $(alpha)$: $Ax + By + Cz + D = 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(alpha)$ được tính theo công thức:
$d(M_0, (alpha)) = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Alt text: Biểu thức toán học tính khoảng cách từ điểm M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0.
V. Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(alpha)$: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ và $(beta)$: $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$.
Góc giữa $(alpha)$ và $(beta)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $vec{n{alpha}}$, $vec{n{beta}}$. Tức là:
$cos((alpha), (beta)) = frac{|vec{n{alpha}} . vec{n{beta}}|}{|vec{n{alpha}}| . |vec{n{beta}}|}= frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} . sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
Alt text: Công thức cosine góc giữa hai mặt phẳng dựa vào tích vô hướng và độ dài vectơ pháp tuyến.
VI. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Phương Pháp Giải
-
Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó: Áp dụng trực tiếp công thức.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua 1 điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và song song với 1 mặt phẳng $(beta)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ cho trước:
- Cách 1: $(alpha)$ // $(beta)$ nên VTPT của $(alpha)$ là VTPT của $(beta)$. Sau đó áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có 1 VTPT.
- Cách 2: $(alpha)$ // $(beta)$ nên phương trình $(alpha)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D’ = 0$ với $D’ neq D$. Thay tọa độ $M_0$ vào để tìm $D’$.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng: Tìm tọa độ các vectơ $vec{AB}, vec{AC}$. Vectơ pháp tuyến của $(alpha)$ là $vec{n{alpha}} = [vec{AB}, vec{AC}]$. Sau đó, viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm (A, B hoặc C) và có VTPT $vec{n{alpha}}$.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng $Delta$: Tìm VTCP của $Delta$. Vì $(alpha) perp Delta$ nên VTPT của $(alpha)$ là VTCP của $Delta$.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa đường thẳng $Delta$, vuông góc với mặt phẳng $(beta)$: Tìm VTPT của $(beta)$ và VTCP của $Delta$. VTPT của $(alpha)$ là tích có hướng của hai vectơ này.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $(beta)$: Tìm VTPT của $(beta)$ và vectơ $vec{AB}$. VTPT của $(alpha)$ là tích có hướng của hai vectơ này.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa đường thẳng $Delta$ và song song với $Delta’$ ($Delta, Delta’$ chéo nhau): Tìm VTCP của $Delta$ và $Delta’$. VTPT của $(alpha)$ là tích có hướng của hai vectơ này.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa đường thẳng $Delta$ và 1 điểm M: Lấy 1 điểm N trên $Delta$. Tính tọa độ $vec{MN}$. VTPT của $(alpha)$ là tích có hướng của VTCP của $Delta$ và $vec{MN}$.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa 2 đường thẳng cắt nhau $Delta$ và $Delta’$: Tìm VTCP của $Delta$ và $Delta’$. VTPT của $(alpha)$ là tích có hướng của hai vectơ này.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa 2 đường thẳng song song $Delta$ và $Delta’$: Tìm VTCP của $Delta$ và $Delta’$, lấy $M in Delta, N in Delta’$. VTPT của $(alpha)$ là tích có hướng của VTCP của $Delta$ và $vec{MN}$.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng $Delta$ và $Delta’$ chéo nhau cho trước: Tìm VTCP của $Delta$ và $Delta’$. VTPT của $(alpha)$ là tích có hướng của hai vectơ này.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: Tìm VTPT của (P) và (Q). VTPT của $(alpha)$ là tích có hướng của hai vectơ này.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ song song với mặt phẳng $(beta)$ và cách $(beta)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ một khoảng k cho trước: Trên mặt phẳng $(beta)$ chọn 1 điểm M. Do $(alpha) // (beta)$ nên $(alpha)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D’ = 0$ ($D’ neq D$). Sử dụng công thức khoảng cách $d((alpha), (beta)) = d(M, (beta)) = k$ để tìm $D’$.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ song song với mặt phẳng $(beta)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước: Do $(alpha) // (beta)$ nên $(alpha)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D’ = 0$ ($D’ neq D$). Sử dụng công thức khoảng cách $d(M, (alpha)) = k$ để tìm $D’$.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ tiếp xúc với mặt cầu (S): Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Nếu mặt phẳng $(alpha)$ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại $M in (S)$ thì mặt phẳng $(alpha)$ đi qua điểm M và có VTPT là $vec{MI}$.
-
Viết phương trình mặt phẳng $(alpha)$ chứa một đường thẳng $Delta$ và tạo với một mặt phẳng $(beta)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ cho trước một góc $varphi$ cho trước: Sử dụng phương pháp vô định để giải hệ phương trình liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng và điều kiện chứa đường thẳng.
Alt text: Phương pháp giải bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết góc giữa mặt phẳng và đường thẳng.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập, bạn sẽ tự tin chinh phục các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng. Chúc bạn thành công!
