Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định phương trình mặt cầu là một bài toán quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào việc xây dựng phương trình mặt cầu khi biết tâm I và một điểm A mà mặt cầu đi qua.
1. Phương trình tổng quát của mặt cầu
Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình tổng quát là:
(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
Trong đó:
- (x, y, z) là tọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên mặt cầu.
- I(a, b, c) là tọa độ tâm của mặt cầu.
- R là bán kính của mặt cầu.
2. Xác định phương trình mặt cầu khi biết tâm I và điểm A thuộc mặt cầu
Khi biết tâm I(a; b; c) và điểm A(x₀; y₀; z₀) nằm trên mặt cầu, ta có thể dễ dàng tìm được bán kính R của mặt cầu. Bán kính R chính là khoảng cách giữa tâm I và điểm A.
Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm I(a; b; c) và A(x₀; y₀; z₀) trong không gian Oxyz là:
R = IA = √[(x₀ – a)² + (y₀ – b)² + (z₀ – c)²]
Sau khi tính được bán kính R, ta thay tọa độ tâm I(a; b; c) và giá trị R vào phương trình tổng quát của mặt cầu để được phương trình cần tìm.
Ví dụ minh họa:
Cho mặt cầu (S) có tâm I(3; -3; 1) và đi qua điểm A(5; -2; 1). Hãy viết phương trình của mặt cầu (S).
Giải:
Bước 1: Xác định tọa độ tâm I(a; b; c) = (3; -3; 1) và điểm A(x₀; y₀; z₀) = (5; -2; 1).
Bước 2: Tính bán kính R của mặt cầu:
R = IA = √[(5 – 3)² + (-2 – (-3))² + (1 – 1)²]
R = √(2² + 1² + 0²) = √5
Bước 3: Thay tọa độ tâm I(3; -3; 1) và bán kính R = √5 vào phương trình tổng quát của mặt cầu:
(x – 3)² + (y + 3)² + (z – 1)² = (√5)²
(x – 3)² + (y + 3)² + (z – 1)² = 5
Vậy, phương trình của mặt cầu (S) là: (x – 3)² + (y + 3)² + (z – 1)² = 5
Giải thích phương trình mặt cầu tâm I đi qua điểm A
Hình ảnh minh họa cách tìm phương trình mặt cầu khi biết tâm và một điểm thuộc mặt cầu, sử dụng công thức khoảng cách để tính bán kính.
3. Các dạng bài tập thường gặp
- Dạng 1: Cho tâm I và điểm A, viết phương trình mặt cầu. (Đây là dạng cơ bản đã trình bày ở trên).
- Dạng 2: Cho đường kính AB, viết phương trình mặt cầu. Trong trường hợp này, tâm I là trung điểm của AB và bán kính R = AB/2.
- Dạng 3: Cho mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Ta cần tìm tọa độ tâm I(a; b; c) và bán kính R bằng cách giải hệ phương trình với 4 ẩn a, b, c, R. Hệ phương trình này được thiết lập dựa trên điều kiện IA = IB = IC = ID = R.
- Dạng 4: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng. Trong trường hợp này, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng bằng bán kính R.
4. Lưu ý khi giải bài tập
- Nắm vững công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz.
- Nắm vững công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Khi giải hệ phương trình, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
- Đọc kỹ đề bài để xác định đúng dạng bài và áp dụng phương pháp giải phù hợp.
5. Ứng dụng của phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong các bài toán hình học không gian, vật lý, kỹ thuật và các lĩnh vực khác. Ví dụ, nó được sử dụng để mô tả hình dạng của các vật thể hình cầu, tính toán thể tích và diện tích bề mặt, xác định vị trí của các điểm trong không gian, và giải các bài toán liên quan đến quỹ đạo chuyển động.
Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và đầy đủ về Phương Trình Mặt Cầu Tâm I đi Qua điểm A, giúp bạn tự tin giải quyết các bài tập liên quan.