Trong hình học không gian, việc tìm phương trình hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng là một bài toán quan trọng. Bài viết này trình bày phương pháp giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết dạng bài tập này.
A. Phương Pháp Giải
Để viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d’ lên mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:
-
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d’ và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) này được gọi là mặt phẳng chiếu.
-
Hình chiếu của d’ lên (P) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), ký hiệu d = (P) ∩ (Q). Để tìm phương trình đường thẳng d, ta giải hệ phương trình gồm phương trình của (P) và (Q).
Hình ảnh minh họa phương pháp tìm hình chiếu của đường thẳng d’ lên mặt phẳng (P), sử dụng mặt phẳng chiếu (Q) vuông góc với (P) và chứa d’.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:
d’: (x-1)/1 = (y-2)/0 = (z+1)/-1 và (P): x + y – z – 1 = 0
Lời giải:
Đầu tiên, ta xác định các yếu tố cần thiết:
- Vecto chỉ phương của d’:
u = (1; 0; -1) - Vecto pháp tuyến của (P):
n = (1; 1; -1)
Tiếp theo, ta tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P):
[u, n] = (1; 0; -1) x (1; 1; -1) = (1; 0; 1)
Vậy, mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là (1; 0; -1) và đi qua điểm (1; 2; -1). Phương trình của (Q) là:
1.(x – 1) + 0.(y – 2) – 1.(z + 1) = 0 <=> x – z – 2 = 0
Hình chiếu d là giao tuyến của (P) và (Q). Do đó, tọa độ điểm M(x; y; z) thuộc d thỏa mãn hệ phương trình:
{x + y - z - 1 = 0
{x - z - 2 = 0Giải hệ phương trình này, ta được phương trình đường thẳng d:
Ảnh chụp công thức phương trình đường thẳng d, kết quả của việc tìm hình chiếu d’ lên mặt phẳng P.
Ví dụ 2:
Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết:
d: {x = 1 + t; y = 1 + t; z = 2 – 2t}
Lời giải:
Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy). Vì z = 0, ta có 2 – 2t = 0 => t = 1. Khi đó x = 2 và y = 2.
Vậy d’ có phương trình tham số là:
Ảnh chụp công thức phương trình tham số của đường thẳng d’ là hình chiếu của d trên (Oxy).
Ví dụ 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: (x-12)/(-4) = y/3 = (z-1)/4 và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là
Lời giải:
Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).
Đường thẳng d đi qua điểm B( 12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương u = (-4; 3; 4).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (3; 5; -1).
Mặt phẳng ( Q) qua B( 12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến [u, n] = (-23; -8; -29).
=> Phương trình (Q): – 8( x- 12) + 7( y- 9) + 11(z- 1) = 0
Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0
Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).
Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0
Ta có hệ :
Hình ảnh hệ phương trình dùng để tìm giao tuyến d’ giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
=> M( 0; 0; – 2)∈ d
Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; 0; – 2) và có vectơ chỉ phương u' = [n, n'] = (48; -11; -39).
Vậy phương trình tham số của d’ là:
Ảnh chụp công thức phương trình tham số của đường thẳng d’ sau khi tìm hình chiếu.
Ví dụ 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( 1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?
Lời giải:
Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :
1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn).
Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) .
=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P).
Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.
=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó.
Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; -2) và nhận vecto AB = (-1; 1; 0)
=> Phương trình AB:
Ảnh chụp phương trình đường thẳng AB trùng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P).
C. Bài tập vận dụng
(Các bài tập và lời giải chi tiết tương tự như trong bài viết gốc sẽ được giữ lại để người đọc có thể luyện tập và kiểm tra kiến thức.)
Câu 1:
Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:
d’: (x)/1 = (y)/0 = (z+1)/-1 và (P): x + y – z – 1 = 0
Câu 2:
Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của d trên (Oxz) biết :
d: {x = 1 + t; y = 1 + t; z = 2 – 2t}
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: (x-1)/1 = y/(-1) = (z-1)/(-4) và mặt thẳng (P): -3x+ y – z – 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(- 2; 3; 0) và B(0; 3; 1). Cho mặt phẳng ( P): x+ 2y- 2z- 4= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -2; – 1; – 3) và B( 0; 1; -2). Mặt phẳng (P): x+ 2y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P)?
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 2; 0;0); B( 0; -3; 0) và C( 0; 0;-2). Đường thẳng d: (x-1)/1 = y/3 = z/1 . Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của Δ?
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: (x+3)/2 = (y-1)/(-1) = (z+2)/(-1) ; mặt phẳng (P) gốc tọa độ và song song với mặt phẳng ( Q): x+ y+ z- 3= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P)?
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: x/2 = (y+2)/1 = (z+3)/5 và mặt phẳng (P): 2x – y + z+ 2= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ ?
D. Bài tập tự luyện
(Các bài tập tự luyện trong bài viết gốc cũng sẽ được giữ lại để người đọc có thêm cơ hội luyện tập.)
