Để giải bài toán về Phương Trình đường Vuông Góc Chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz, chúng ta cần nắm vững phương pháp và áp dụng linh hoạt các ví dụ minh họa. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức toàn diện và sâu sắc về chủ đề này.
Phương Pháp Xác Định Đường Vuông Góc Chung
Có hai phương pháp chính để xác định phương trình đường vuông góc chung:
Cách 1:
- Xây dựng mặt phẳng (P): Mặt phẳng này chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2.
- Xây dựng mặt phẳng (Q): Mặt phẳng này chứa đường thẳng d1 và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Tìm giao điểm M: Xác định giao điểm M của đường thẳng d1 và mặt phẳng (Q). Điểm M chính là một điểm thuộc đường vuông góc chung.
- Viết phương trình đường vuông góc chung: Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).
Cách 2:
- Xác định giao điểm M và N: Giả sử đường vuông góc chung d cắt d1 tại M và d2 tại N.
- Sử dụng tính chất vuông góc: Vì d là đường vuông góc chung, vectơ MN phải vuông góc với cả vectơ chỉ phương của d1 và d2.
Hình ảnh minh họa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2, cùng đường vuông góc chung d cắt tại M và N, giúp hình dung trực quan về bài toán.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải, hãy cùng xét các ví dụ cụ thể sau đây:
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
d1: x = t; y = 1 + 2t; z = -1 + 4t
d2: x = 2 + t’; y = -1; z = 0
Lời giải:
- Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương:
- d1 có vectơ chỉ phương là u1 = (1; 2; 4)
- d2 có vectơ chỉ phương là u2 = (1; 0; 0)
- Bước 2: Tính tích có hướng: Tính tích có hướng của u1 và u2 để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2.
- Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P): Sử dụng vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc d1 để viết phương trình mặt phẳng (P).
- Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P). Tìm vectơ pháp tuyến của (Q) bằng cách lấy tích có hướng của vectơ chỉ phương của d1 và vectơ pháp tuyến của (P).
- Bước 5: Tìm giao điểm M: Tìm tọa độ giao điểm M của d1 và (Q).
- Bước 6: Viết phương trình đường vuông góc chung: Đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương vuông góc với cả u1 và u2 (tức là cùng phương với tích có hướng của u1 và u2) chính là đường vuông góc chung cần tìm.
Hình ảnh minh họa hai đường thẳng chéo nhau trong ví dụ 1, trực quan hóa bài toán và giúp người đọc dễ hình dung.
Ví dụ 2:
Viết phương trình đường vuông góc chung của:
d1: (x-1)/2 = (y+2)/1 = z/(-1)
d2: x=y=z
Lời giải:
- Bước 1: Tham số hóa:
- d1: x = 1 + 2t; y = -2 + t; z = -t
- d2: x = t’; y = t’; z = t’
- Bước 2: Tìm điểm M, N: Gọi M(1+2t; -2+t; -t) thuộc d1 và N(t’; t’; t’) thuộc d2.
- Bước 3: Vectơ MN: Tính vectơ MN theo t và t’.
- Bước 4: Điều kiện vuông góc: Đặt điều kiện MN vuông góc với cả u1 (2; 1; -1) và u2 (1; 1; 1). Điều này cho ta một hệ phương trình hai ẩn t và t’.
- Bước 5: Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình để tìm t và t’.
- Bước 6: Tìm tọa độ M, N: Thay t và t’ vào tọa độ M và N để tìm tọa độ cụ thể của hai điểm này.
- Bước 7: Viết phương trình: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và N.
Hình ảnh minh họa phương pháp tham số hóa, một kỹ thuật quan trọng trong việc giải bài toán về đường vuông góc chung.
Các Dạng Bài Tập Vận Dụng
Để rèn luyện kỹ năng, hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài tập 1:
Cho hai đường thẳng d1: (x-1)/1 = (y+2)/1 = (z-3)/(-1) và d2: x/1 = (y-1)/2 = (z-6)/3. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Bài tập 2:
Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 1; 3), B(1; 2; 1), C(0; 0; 2) và D(2; 3; 1). Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD. Tìm giao điểm của d và AC.
Bài tập 3:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1: x = 1 + t; y = 0; z = -5 + t và d2: x = 0; y = 4 – 2u; z = 5 + 3u.
Kết Luận
Việc nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán về phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để chinh phục dạng toán này.