1. Tổng Quan về Phương Trình Đường Thẳng d
Trong hình học phẳng Oxy, Phương Trình đường Thẳng D là một công cụ mạnh mẽ để mô tả và nghiên cứu các tính chất của đường thẳng. Có nhiều cách biểu diễn phương trình đường thẳng d, mỗi cách có ưu điểm và ứng dụng riêng.
2. Vectơ Chỉ Phương (VTCP) của Đường Thẳng d
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
Alt text: Minh họa vectơ chỉ phương u của đường thẳng d, biểu diễn hướng của đường thẳng.
Định nghĩa: Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu u ≠ 0 và giá của u song song hoặc trùng với d.
Nhận xét: Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. Các VTCP này cùng phương với nhau.
3. Phương Trình Tham Số của Đường Thẳng d
Phương trình tham số mô tả tọa độ của mọi điểm trên đường thẳng d dựa trên một tham số duy nhất.
Đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀) và có VTCP u = (a; b) thì phương trình tham số của d có dạng:
Alt text: Công thức biểu diễn phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M0(x0, y0) và vectơ chỉ phương u(a, b).
Nhận xét: Nếu đường thẳng d có VTCP u = (a; b) thì có hệ số góc k = b/a (khi a ≠ 0).
4. Vectơ Pháp Tuyến (VTPT) của Đường Thẳng d
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là một vectơ vuông góc với đường thẳng đó.
Alt text: Hình ảnh vectơ pháp tuyến n vuông góc với đường thẳng d trong hệ tọa độ Oxy.
Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu n ≠ 0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của d.
Nhận xét:
- Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Các VTPT này cùng phương với nhau.
- Nếu
u= (a; b) là VTCP của d thìn= (-b; a) hoặcn= (b; -a) là VTPT của d.
Alt text: Minh họa mối quan hệ vuông góc giữa vectơ pháp tuyến n và vectơ chỉ phương u của một đường thẳng d.
5. Phương Trình Tổng Quát của Đường Thẳng d
Phương trình tổng quát là một dạng biểu diễn phổ biến của phương trình đường thẳng d.
Đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀) và có VTPT n = (A; B) thì phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng:
A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax₀ – By₀.
Nhận xét:
- Nếu đường thẳng d có VTPT
n= (A; B) thì có hệ số góc k = -A/B (khi B ≠ 0). - Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng x/a + y/b = 1. Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a; 0) và N(0; b).
Alt text: Hình ảnh minh họa phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, với đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm a và trục Oy tại điểm b.
6. Vị Trí Tương Đối của Hai Đường Thẳng d₁ và d₂
Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là:
d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0
Tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:
Alt text: Hệ phương trình dùng để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2.
- Nếu hệ có một nghiệm (x₀; y₀) thì d₁ cắt d₂ tại điểm M₀(x₀, y₀).
- Nếu hệ có vô số nghiệm thì d₁ trùng với d₂.
- Nếu hệ vô nghiệm thì d₁ và d₂ không có điểm chung, hay d₁ song song với d₂.
Cách 2: Xét tỉ số
Alt text: Công thức so sánh tỉ lệ các hệ số để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1 và d2.
7. Góc Giữa Hai Đường Thẳng d₁ và d₂
Cho hai đường thẳng:
d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có VTPT n₁ = (a₁; b₁);
d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có VTPT n₂ = (a₂; b₂);
Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d₁ và d₂. Khi đó:
Alt text: Công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 dựa vào tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến.
8. Khoảng Cách từ Một Điểm đến Đường Thẳng d
Khoảng cách từ M₀(x₀, y₀) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:
Alt text: Công thức tính khoảng cách từ điểm M0(x0, y0) đến đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0.
Nhận xét: Cho hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
Alt text: Phương trình của hai đường phân giác tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d1 và d2.