Phương Trình đoạn Chắn là một công cụ hữu hiệu trong hình học giải tích, giúp chúng ta dễ dàng xác định phương trình đường thẳng khi biết đường thẳng đó cắt hai trục tọa độ. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ và chi tiết về phương trình đoạn chắn, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững và áp dụng thành thạo.
A. Tổng Quan Về Phương Trình Đoạn Chắn
Phương trình đoạn chắn là một dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng, được sử dụng khi đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ Ox và Oy.
Định nghĩa: Cho đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A(a; 0) và trục Oy tại điểm B(0; b), với a ≠ 0 và b ≠ 0. Phương trình đoạn chắn của đường thẳng AB có dạng:
Chú thích: Hình ảnh minh họa công thức tổng quát của phương trình đoạn chắn, với đường thẳng đi qua hai điểm A(a,0) và B(0,b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
B. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Cách Giải
Dạng 1: Viết phương trình đoạn chắn khi biết tọa độ giao điểm với hai trục tọa độ
- Phương pháp: Thay trực tiếp tọa độ các giao điểm vào công thức phương trình đoạn chắn.
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại A(-2; 0) và trục Oy tại B(0; 5).
Lời giải:
Áp dụng công thức phương trình đoạn chắn, ta có:
⇔ 5x – 2y + 10 = 0
Vậy phương trình đường thẳng là 5x – 2y + 10 = 0.
Dạng 2: Viết phương trình đoạn chắn khi biết một điểm thuộc đường thẳng và một quan hệ giữa các đoạn chắn
-
Phương pháp:
- Gọi phương trình đường thẳng có dạng đoạn chắn: x/a + y/b = 1
- Sử dụng giả thiết điểm thuộc đường thẳng để thiết lập một phương trình liên hệ giữa a và b.
- Sử dụng các giả thiết khác (ví dụ: M là trung điểm AB, tam giác OAB vuông cân,…) để thiết lập phương trình thứ hai liên hệ giữa a và b.
- Giải hệ phương trình để tìm a và b.
Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(5; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
Lời giải:
Gọi A(a; 0) và B(0; b). Vì M là trung điểm của AB nên:
Suy ra a = 10 và b = -6. Phương trình đoạn chắn của đường thẳng AB là:
= 1 ⇔ 3x – 5y – 30 = 0.
Vậy phương trình đường thẳng là 3x – 5y – 30 = 0.
Dạng 3: Tìm số lượng đường thẳng thỏa mãn điều kiện
- Phương pháp: Tương tự dạng 2, nhưng cần xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra dựa trên các điều kiện đề bài.
Ví dụ 3: Có mấy đường thẳng đi qua điểm M(2; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân?
Lời giải:
Gọi A(a; 0) và B(0; b). Vì tam giác OAB vuông cân tại O nên |a| = |b|. Xét hai trường hợp:
TH1: b = a. Phương trình đoạn chắn là x/a + y/a = 1. Vì M(2; -3) thuộc đường thẳng nên:
- = 1 ⇔ 2 – 3 = a ⇔ a = -1.
Phương trình đường thẳng là x + y + 1 = 0.
TH2: b = -a. Phương trình đoạn chắn là x/a – y/a = 1. Vì M(2; -3) thuộc đường thẳng nên:
- = 1 ⇔ 2 + 3 = a ⇔ a = 5.
Phương trình đường thẳng là x – y – 5 = 0.
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn.
Dạng 4: Chuyển đổi phương trình tổng quát về phương trình đoạn chắn
-
Phương pháp:
- Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng với trục Ox (y = 0).
- Tìm tọa độ giao điểm B của đường thẳng với trục Oy (x = 0).
- Viết phương trình đoạn chắn dựa trên tọa độ A và B.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng đoạn chắn.
Lời giải:
Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(-3; 0) và cắt trục Oy tại B(0; 3). Vậy phương trình đoạn chắn là:
– + = 1
C. Bài Tập Tự Luyện
- Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(7; 0) và B(0; 4).
- Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-2; 5) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
- Cho đường thẳng d: -x + 3y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng phương trình đoạn chắn.
- Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-5; 3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
- Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(8; 0) và B(0; -4).
Lời kết:
Hi vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về phương trình đoạn chắn và có thể áp dụng để giải các bài tập liên quan. Chúc bạn học tốt!