Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Trong đó, việc xác định điều kiện để Phương Trình Có Hai Nghiệm Phân Biệt là một kỹ năng cần thiết. Bài viết này sẽ đi sâu vào vấn đề này, cung cấp kiến thức chi tiết và các dạng bài tập liên quan.
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát:
$ax^2 + bx + c = 0$, với $a neq 0$.
Để xét số nghiệm của phương trình, ta sử dụng biệt thức Delta ($Delta$).
Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ (với $a neq 0$) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức Delta ($Delta$) lớn hơn 0. Công thức tính Delta như sau:
$Delta = b^2 – 4ac$
Vậy, điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
$Delta > 0 Leftrightarrow b^2 – 4ac > 0$
Khi điều kiện này thỏa mãn, phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt được tính theo công thức:
$x_1 = dfrac{-b + sqrt{Delta}}{2a}$
$x_2 = dfrac{-b – sqrt{Delta}}{2a}$
Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến phương trình có hai nghiệm phân biệt
Dạng 1: Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ: Cho phương trình $x^2 – 2mx + m – 2 = 0$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $Delta > 0$.
$Delta = (-2m)^2 – 4(1)(m – 2) = 4m^2 – 4m + 8$
$Delta > 0 Leftrightarrow 4m^2 – 4m + 8 > 0 Leftrightarrow m^2 – m + 2 > 0$
Ta có: $m^2 – m + 2 = (m – dfrac{1}{2})^2 + dfrac{7}{4} > 0$ với mọi $m$.
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.
Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ: Cho phương trình $x^2 – (m+1)x + 2m – 3 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1 + x_2 = 4$.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $Delta > 0$.
$Delta = (m+1)^2 – 4(2m – 3) = m^2 + 2m + 1 – 8m + 12 = m^2 – 6m + 13$
$Delta > 0 Leftrightarrow m^2 – 6m + 13 > 0 Leftrightarrow (m – 3)^2 + 4 > 0$ (luôn đúng với mọi $m$).
Theo định lý Vi-ét, ta có: $x_1 + x_2 = m + 1$.
Theo yêu cầu bài toán: $x_1 + x_2 = 4 Rightarrow m + 1 = 4 Rightarrow m = 3$.
Vậy, $m = 3$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Dạng 3: Xét dấu của nghiệm khi phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ: Cho phương trình $x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $Delta > 0$.
$Delta = [2(m+1)]^2 – 4(m^2 + 2) = 4(m^2 + 2m + 1) – 4m^2 – 8 = 8m – 4$
$Delta > 0 Leftrightarrow 8m – 4 > 0 Leftrightarrow m > dfrac{1}{2}$.
Để hai nghiệm cùng dấu, tích của chúng phải dương: $x_1x_2 > 0$. Theo định lý Vi-ét, $x_1x_2 = m^2 + 2 > 0$ (luôn đúng).
Vậy, $m > dfrac{1}{2}$ là điều kiện cần tìm.
Lưu ý quan trọng:
- Luôn kiểm tra điều kiện $a neq 0$ trước khi áp dụng công thức Delta.
- Khi giải các bài toán liên quan đến điều kiện của nghiệm, nên kết hợp sử dụng định lý Vi-ét để đơn giản hóa bài toán.
- Hiểu rõ bản chất của biệt thức Delta và mối liên hệ của nó với số nghiệm của phương trình.
Nắm vững các kiến thức và dạng bài tập trên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Chúc bạn thành công!