Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức toán học cơ bản và quan trọng. Việc hiểu rõ điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là rất cần thiết để giải quyết nhiều bài toán liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về vấn đề này, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
Cho phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0$ (với $a neq 0$).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức delta ($Delta$) lớn hơn 0.
- Biệt thức Delta: $Delta = b^2 – 4ac$
Vậy, điều kiện để phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt là:
$Delta > 0 Leftrightarrow b^2 – 4ac > 0$
Khi $Delta > 0$, hai nghiệm phân biệt của phương trình được tính theo công thức:
$x_1 = frac{-b + sqrt{Delta}}{2a}$
$x_2 = frac{-b – sqrt{Delta}}{2a}$
Alt text: Hình ảnh công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai khi delta lớn hơn 0, hiển thị x1 và x2.
Các trường hợp mở rộng và điều kiện liên quan
Ngoài điều kiện cơ bản $Delta > 0$, còn có một số trường hợp mở rộng và điều kiện liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai mà bạn cần nắm vững.
1. Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước:
Nếu bài toán yêu cầu phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn một điều kiện nào đó (ví dụ: $x_1 = px_2$, $|x_1 – x_2| = k$, $x_1 > alpha$, $x_1 < alpha < x_2$, v.v.), bạn cần kết hợp điều kiện $Delta > 0$ với các hệ thức Viète và điều kiện bài toán để tìm ra giá trị của tham số.
2. Sử dụng định lý Viète:
Định lý Viète là công cụ hữu ích để giải các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. Theo định lý Viète, nếu $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$, thì:
- $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$
- $x_1x_2 = frac{c}{a}$
Alt text: Biểu thức thể hiện công thức Viète cho phương trình bậc hai, mô tả mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số.
3. So sánh nghiệm với một số:
Để so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số $alpha$, ta xét các trường hợp sau:
- Hai nghiệm đều lớn hơn $alpha$: $Delta > 0$, $x_1 + x_2 > 2alpha$, $(x_1 – alpha)(x_2 – alpha) > 0$.
- Hai nghiệm đều nhỏ hơn $alpha$: $Delta > 0$, $x_1 + x_2 < 2alpha$, $(x_1 – alpha)(x_2 – alpha) > 0$.
- Một nghiệm lớn hơn $alpha$, một nghiệm nhỏ hơn $alpha$: $a.f(alpha) < 0$ (với $f(x) = ax^2 + bx + c$).
Alt text: Bất đẳng thức thể hiện điều kiện để cả hai nghiệm của phương trình bậc hai đều lớn hơn alpha.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho phương trình $x^2 – 2(m – 1)x + m^2 – 3m + 2 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $Delta > 0$.
$Delta = [ -2(m – 1)]^2 – 4(m^2 – 3m + 2) = 4(m^2 – 2m + 1) – 4(m^2 – 3m + 2) = 4m – 4$
$Delta > 0 Leftrightarrow 4m – 4 > 0 Leftrightarrow m > 1$
Vậy, với $m > 1$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho phương trình $x^2 – 2mx + m – 1 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1 + x_2 = 4$.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $Delta > 0$.
$Delta = (-2m)^2 – 4(m – 1) = 4m^2 – 4m + 4 = 4(m^2 – m + 1) = 4[(m – frac{1}{2})^2 + frac{3}{4}] > 0$ (luôn đúng với mọi $m$).
Theo định lý Viète, $x_1 + x_2 = 2m$.
Theo yêu cầu bài toán, $x_1 + x_2 = 4 Leftrightarrow 2m = 4 Leftrightarrow m = 2$.
Vậy, với $m = 2$, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1 + x_2 = 4$.
Bài tập tự luyện
- Tìm $m$ để phương trình $x^2 + 2(m + 1)x + m^2 – 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
- Tìm $m$ để phương trình $x^2 – mx + 2m – 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 5$.
- Cho phương trình $x^2 – 2(m – 2)x + m^2 – 4m + 3 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
- Tìm m để phương trình $x^2-2mx+m^2-1=0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $|x_1-x_2|=4$
Nắm vững điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, cùng với các kiến thức liên quan đến định lý Viète và các trường hợp mở rộng, sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán về phương trình bậc hai một cách hiệu quả. Chúc bạn thành công!
