Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán học THCS. Việc xác định dấu của nghiệm phương trình bậc hai có ứng dụng rộng rãi trong giải toán. Bài viết này sẽ tập trung vào điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu, cùng các ví dụ và bài tập minh họa.
Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu
Cho phương trình bậc hai:
$$ax^2 + bx + c = 0$$
(với $a ne 0$).
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
$$a.c < 0$$
Điều này xuất phát từ định lý Viète. Nếu $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình, thì tích của chúng bằng $c/a$. Để $x_1$ và $x_2$ trái dấu, tích của chúng phải âm, tức là $c/a < 0$, suy ra $a.c < 0$.
Alt text: Công thức điều kiện để phương trình ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu, với a.c < 0.
Lưu ý: Khi $a.c < 0$, phương trình chắc chắn có hai nghiệm phân biệt. Do đó, ta không cần xét điều kiện $Delta > 0$ hoặc $Delta ge 0$.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm $m$ để phương trình $x^2 – (m+1)x + m – 2 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu, ta cần:
$$a.c < 0$$
Trong trường hợp này, $a = 1$ và $c = m – 2$. Vậy:
$$1.(m – 2) < 0$$
$$m – 2 < 0$$
$$m < 2$$
Vậy, khi $m < 2$, phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
Ví dụ 2: Tìm $m$ để phương trình $(m-1)x^2 + 2x – 3 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu, ta cần:
$$a.c < 0$$
Trong trường hợp này, $a = m – 1$ và $c = -3$. Vậy:
$$(m – 1).(-3) < 0$$
$$-3(m – 1) < 0$$
$$m – 1 > 0$$
$$m > 1$$
Vậy, khi $m > 1$, phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
Các dạng bài tập khác liên quan đến nghiệm trái dấu
Ngoài việc tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, đề bài có thể yêu cầu thêm điều kiện liên quan đến giá trị tuyệt đối của các nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2mx + m^2 – 1 = 0$ có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu, ta cần:
$$a.c < 0$$
$$1.(m^2 – 1) < 0$$
$$m^2 – 1 < 0$$
$$-1 < m < 1$$
Gọi $x_1$ là nghiệm âm và $x_2$ là nghiệm dương. Theo đề bài, $|x_1| > x_2$. Điều này tương đương với $x_1 + x_2 < 0$. Theo định lý Viète, $x_1 + x_2 = 2m$. Vậy:
$$2m < 0$$
$$m < 0$$
Kết hợp hai điều kiện $-1 < m < 1$ và $m < 0$, ta có:
$$-1 < m < 0$$
Vậy, khi $-1 < m < 0$, phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài tập tự luyện
- Tìm $m$ để phương trình $2x^2 + (m-3)x – m + 1 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.
- Tìm $m$ để phương trình $(m+2)x^2 – 3x + m – 1 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.
- Tìm $m$ để phương trình $x^2 – (2m+1)x + m^2 – 4 = 0$ có hai nghiệm trái dấu sao cho tổng hai nghiệm âm.
- Cho phương trình $x^2 – 2(m-1)x + m – 5 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm âm.
- Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $(m-2)x^2 + 4x + m + 2 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.
Tổng kết
Việc nắm vững điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là rất quan trọng. Bên cạnh đó, cần kết hợp với định lý Viète và các điều kiện khác của bài toán để giải quyết các bài tập phức tạp hơn. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về dạng toán này.
Alt text: Hình ảnh đồ thị hàm số bậc hai y=ax^2+bx+c cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu, minh họa nghiệm trái dấu của phương trình.
