Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán THCS và THPT. Việc nắm vững điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt là yếu tố then chốt để giải quyết nhiều bài toán liên quan. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các điều kiện và phương pháp giải bài tập về phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt.
1. Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt
Xét phương trình bậc hai tổng quát:
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là:
Δ > 0
Trong đó, Δ (delta) là biệt thức của phương trình, được tính theo công thức:
Δ = b² - 4acNếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x₁ = (-b + √Δ) / 2a
x₂ = (-b - √Δ) / 2aẢnh minh họa công thức tính nghiệm phương trình bậc hai khi delta lớn hơn 0, điều kiện cần để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tóm lại: Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức Δ = b² - 4ac lớn hơn 0.
2. Ứng dụng định lý Viète
Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, định lý Viète cho phép ta tìm mối liên hệ giữa các nghiệm mà không cần giải phương trình.
Theo định lý Viète, với phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂:
- Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
- Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a
Định lý Viète là công cụ hữu ích để giải các bài toán liên quan đến điều kiện của nghiệm (ví dụ: tìm m để hai nghiệm thỏa mãn một biểu thức cho trước).
3. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Ví dụ: Tìm m để phương trình x² - 2mx + m - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
- Tính Δ: Δ = (-2m)² – 4(m – 1) = 4m² – 4m + 4
- Đặt điều kiện Δ > 0: 4m² – 4m + 4 > 0 <=> m² – m + 1 > 0
- Phân tích: m² – m + 1 = (m – 1/2)² + 3/4 > 0 với mọi m.
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Dạng 2: Tìm tham số để 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ: Tìm m để phương trình x² - (m+1)x + 2m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = x₁ * x₂.
Giải:
- Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt: Δ = (m+1)² – 4(2m-3) > 0 <=> m² – 6m + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m).
- Áp dụng Viète: x₁ + x₂ = m + 1; x₁ * x₂ = 2m – 3
- Theo đề bài: x₁ + x₂ = x₁ * x₂ <=> m + 1 = 2m – 3
- Giải phương trình: m = 4
Kết luận: Với m = 4, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ảnh minh họa cách sử dụng định lý Viète để thiết lập mối liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 3: So sánh nghiệm với một số
Ví dụ: Tìm m để phương trình x² - 2(m-1)x + m² - 3m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Giải:
- Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt: Δ’ = (m-1)² – (m²-3m+2) > 0 <=> m > 1/2
- Điều kiện nghiệm lớn hơn 1:
- x₁ > 1 và x₂ > 1 <=> (x₁ – 1) + (x₂ – 1) > 0 và (x₁ – 1)(x₂ – 1) > 0
- Áp dụng Viète: x₁ + x₂ = 2(m-1); x₁x₂ = m²-3m+2
- Thay vào:
- x₁ + x₂ – 2 > 0 <=> 2(m-1) – 2 > 0 <=> m > 2
- x₁x₂ – (x₁+x₂) + 1 > 0 <=> m²-3m+2 – 2(m-1) + 1 > 0 <=> m²-5m+5 > 0 <=> m < (5-√5)/2 hoặc m > (5+√5)/2
- Kết hợp điều kiện: m > 2 và (m < (5-√5)/2 hoặc m > (5+√5)/2). Vì (5-√5)/2 < 2 nên nghiệm là m > (5+√5)/2
Kết luận: m > (5+√5)/2.
Ảnh minh họa điều kiện để hai nghiệm của phương trình bậc hai lớn hơn một số alpha cho trước.
4. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho phương trình x² - mx + m - 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x₁² + x₂² = 6.
Bài 2: Tìm m để phương trình (m-1)x² - 2mx + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: Cho phương trình x² - 2(m+2)x + m² + 4m + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ + x₂| = 4.
Lời giải:
(Bài 1)
- Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt: Δ = m² – 4(m-2) > 0 <=> m² – 4m + 8 > 0 (luôn đúng).
- Áp dụng Viète: x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = m – 2
- Biến đổi: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = m² – 2(m-2) = m² – 2m + 4 = 6
- Giải phương trình: m² – 2m – 2 = 0 => m = 1 ± √3
(Bài 2)
- Xét m = 1: Phương trình trở thành -2x + 2 = 0 => x = 1 (không thỏa mãn là phương trình bậc hai).
- Điều kiện m ≠ 1: Để là phương trình bậc hai.
- Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt: Δ’ = m² – (m-1)(m+1) > 0 <=> m² – (m²-1) > 0 <=> 1 > 0 (luôn đúng).
Kết luận: m ≠ 1
(Bài 3)
- Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt: Δ’ = (m+2)² – (m²+4m+3) > 0 <=> 1 > 0 (luôn đúng).
- Áp dụng Viète: x₁ + x₂ = 2(m+2)
- Theo đề bài: |x₁ + x₂| = |2(m+2)| = 4 <=> |m+2| = 2
- Giải phương trình: m + 2 = 2 hoặc m + 2 = -2 => m = 0 hoặc m = -4.
Kết luận
Nắm vững điều kiện Δ > 0 để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt, kết hợp với định lý Viète và các kỹ năng biến đổi đại số, bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các dạng bài tập và ứng dụng linh hoạt các kiến thức đã học.